İki Doğrultulu Döşeme Eşdeğer Çerçeve Yöntemi

1. Tanım ve Temel İlke

Eşdeğer çerçeve (equivalent frame): İki doğrultulu döşemeli sistemlerde, her bir kolon aksından geçen şerit boyunca, döşeme (plak) ile kolon ve/veya perde elemanlarından oluşturulan düzlemsel çerçeve modelidir. Yatay düzlemde tüm döşeme alanı, kolon ve perde akslarına göre düzlemsel çerçevelere bölünür; her çerçeve bağımsız olarak analiz edilir.

Kolon şeridi (column strip) ve orta şerit (middle strip):

• Kolon şeridi: Her iki yönde $l_2/4$ veya $l_1/4$ (küçük olan) genişliğinde, kolon aksını merkeze alan şerit (TS 500:2000 Madde 11.3.2).
• Orta şerit: İki komşu kolon şeridi arasında kalan bölge; toplam kolon aksı arası açıklığın kalan kısmıdır.

Tablo 1: Tanım ve Temel İlke

Saha Notu: Türkiye'de konut ve ticari projelerde yaygın açıklıklar $l_1 = l_2 = 5{,}0{-}6{,}5\text{ m}$ aralığındadır. Bu aralıkta kolon şeridi genişliği tipik olarak 2,50–3,25 m; orta şerit genişliği ise 1,50–2,50 m olmaktadır. Şerit sınırlarının kalıp planına işlenmesi ve uygulama ekibine teslim edilmesi, sahada kritik önem taşır.

Dikkat: TS 500:2000 Madde 11.3.2, şerit tanımını kirişli ve kirişsiz döşemeler için ortak vermiştir. Kirişsiz döşemelerde kolon şeridinin kolon yüzüne yakın bölümünde yük yoğunlaşması belirgindir; bu bölgedeki donatı yeterliliği ayrıca kontrol edilmelidir.

1.1 Yöntemin Geçerlilik Koşulları

Tablo 2: Yöntemin Geçerlilik Koşulları

Saha Notu: Türkiye deprem bölgesi şartları nedeniyle TBDY 2018, kirişsiz döşemeli sistemlerde yatay yüklerin (deprem) tamamının perdeler tarafından taşınmasını şart koşmaktadır (Madde 4.3.4.4). Bu nedenle Türkiye uygulamalarında eşdeğer çerçeve yöntemi ağırlıklı olarak düşey yük analizi için kullanılır; sismik analiz ayrıca yürütülür.

Dikkat: Düzensiz planlı yapılarda (L, T, U şekilleri), büyük açıklık farklılıklarında ($l_1/l_2 > 2$) veya konsol bölgelerinde eşdeğer çerçeve yöntemi yeterli olmayabilir. Bu durumda sonlu elemanlar analizi (SAP2000, ETABS, ideCAD) gereklidir.

2. Tasarım / Hesap Yöntemi

Adım 1 — Çerçeve Geometrisinin Belirlenmesi

Her iki ana yön için ($x$ ve $y$) ayrı ayrı eşdeğer çerçeve kurulur.

• $l_1$: Analiz yönündeki kolon eksen açıklığı (m)
• $l_2$: Analiz yönüne dik doğrultudaki kolon eksen açıklığı (m)
• $l_n$: Net açıklık; kolon veya başlık yüzü ile yüzü arası ($l_n \geq 0{,}65 \cdot l_1$) — TS 500:2000 Madde 11.2.4
• $c_1$: Analiz yönünde kolon boyutu (mm)
• $c_2$: Dik yönde kolon boyutu (mm)
• $h_s$: Döşeme kalınlığı (mm); bkz. Tablo 3 için minimum değerler

Tablo 3: Adım 1 — Çerçeve Geometrisinin Belirlenmesi

Saha Notu: Türkiye'deki çoğu ticari kirişsiz döşeme projesi $h_s = 220{-}280\text{ mm}$ aralığında tasarlanmaktadır. Zemin sertlik sınıfı ZD veya ZE olan Türkiye'nin yüksek depremsellik bölgelerinde $l_n/28$ kriteri belirleyici olmaktadır.

Dikkat: TBDY 2018 Madde 3.3.1'e göre deprem etkisini karşılayacak betonarme elemanlarda C25 beton sınıfının altı kullanılamaz; uygulamada C30–C35 sınıfı yaygındır.

Adım 2 — Eşdeğer Döşeme Kirişi Rijitliği

Düz plak (başlıksız) sistemde, eşdeğer kiriş olarak tüm $l_2$ genişliğindeki döşeme şeridi kullanılır (TS 500:2000 Madde 11.4.2):

$$I_{eq} = \frac{l_2 \cdot h_s^3}{12}$$

Kolon içindeki bölgede atalet momenti artırılır:

$$I_{eq,\text{kolon bölgesi}} = \frac{I_{eq}}{\left(1 - \dfrac{c_2}{l_2}\right)^2} \quad \text{(ACI 318-19 R8.11.3)}$$

Başlıklı (mantar döşeme) sistemde başlık etkisi:

$$I_{eq,\text{başlık}} = \frac{l_2 \cdot h_s^3}{12} \cdot K_f \quad \text{(TS 500:2000 Madde 11.4.3)}$$

Döşeme eğilme rijitliği:

$$K_{sb} = \frac{k \cdot E_c \cdot I_{eq}}{l_1}$$

Burada $k$ katsayısı kolon geometrisine ($c_1/l_1$, $c_2/l_2$) bağlı olup PCA nomogram tablolarından veya ACI 318-19 EK tablosundan alınır. Başlıksız düz döşeme için yaklaşık $k \approx 4{,}0{-}4{,}4$'tür.

Beton elastisite modülü (TS 500:2000 Madde 3.3):

$$E_c = 3250 \cdot \sqrt{f_{ck}} + 14000 \quad \text{(MPa)}$$

Tablo 4: Adım 2 — Eşdeğer Döşeme Kirişi Rijitliği

Saha Notu: TBDY 2018 deprem hesabında efektif kesit rijitlikleri için döşemede $0{,}25 I_g$; kolonlarda $0{,}70 I_g$ kullanılır (Tablo 4.5). Eşdeğer çerçeve analizinde bu azaltma katsayıları deprem kombinasyonlarına uygulanmalıdır.

Adım 3 — Eşdeğer Kolon Rijitliği (Burulma Etkisi)

Döşeme-kolon bağlantısında burulma rijitliği önemlidir. Eşdeğer kolon rijitliği (TS 500:2000 Madde 11.4.4 ve ACI 318-19 R8.11.5):

$$\frac{1}{K_{ec}} = \frac{1}{\sum K_c} + \frac{1}{\sum K_t}$$

Kolon eğilme rijitliği ($K_c$):

$$K_c = k_c \cdot \frac{E_c I_c}{l_c}$$

$k_c$: kolon için sınır koşuluna göre rijitlik katsayısı (uçtan mafsallı için $k_c = 3$, her iki ucu ankastre için $k_c = 4$ veya başlık boyutuna göre tablo değeri).

Burulma elemanı rijitliği ($K_t$):

$$K_t = \sum \frac{9 E_c C}{l_2 \left(1 - \dfrac{c_2}{l_2}\right)^3}$$

Burada $C$ burulma sabiti:

$$C = \sum \left(1 - 0{,}63 \cdot \frac{x}{y}\right) \cdot \frac{x^3 y}{3}$$

$x$ ve $y$ sırasıyla döşeme kesit genişliği ile yüksekliğidir; $x$ kısa kenar olmak üzere döşeme kesiti bütün alt bölümlere ayrılarak $C$ hesaplanır.

Paralel kiriş (başlık) varlığında:

$$K_{ta} = K_t \cdot \frac{I_{sb}}{I_s}$$

Dağılım faktörleri (moment dağılım yöntemi için):

$$DF = \frac{K_{sb}}{K_{sb,sol} + K_{sb,sağ} + K_{ec}}$$

Saha Notu: Türkiye'deki pek çok projede burulma elemanı rijitliği ($K_t$) ihmal edilerek hesap yapılmaktadır. Bu yaklaşım, kolon rijitliğini olduğundan yüksek tahmin etmekte ve mesnet momentini artırmaktadır. Güvenli yönde olmakla birlikte açıklık momentini küçümseyebilir; sonuç olarak mesnet donatısı fazla, açıklık donatısı yetersiz kalabilir.

Dikkat: TS EN 1992-1-1:2004 Bölüm 5.3.3, burulma elemanının döşeme kenarsındaki modellenmesini açıkça tanımlamaktadır. Kenar kolonlarda $K_t$ hesabı dış kenar geometrisi dikkate alınarak yapılmalıdır.

Adım 4 — Çerçevenin Çözülmesi

Çerçeve, standart iki boyutlu çerçeve analizi yöntemleriyle çözülür. Tercih edilen yöntemler:

1. Moment dağılım yöntemi (Cross yöntemi): El hesabı için uygundur; 3–5 iterasyonla yakınsama sağlanır.
2. Matriks-kiriş yöntemi: Bilgisayar hesabına uygun; doğrusal cebir sistemi.
3. Hesap yazılımları: SAP2000, ETABS, ideCAD Statik (TS 500 uyumlu).

Yükleme durumları (TS 500:2000 Madde 6.2 ve TS 498:1997):

• Tam yük (tüm açıklıklar yüklü): $q_d = 1{,}4G + 1{,}6Q$
• Alternatif yük (dama yükleme): Birincil açıklık yüklü, komşular boş
• Sismik kombinasyon: $G + Q + E$ veya $G + 0{,}3Q + E$ (TBDY 2018 Tablo 4.1)

Dikkat: Türkiye'de TS 498:1997 "Yapı Elemanlarının Boyutlandırılmasında Alınacak Yüklerin Hesap Değerleri" standardına göre yük katsayıları belirlenir. TBDY 2018 sismik kombinasyonlarında ise ASCE 7-22 benzeri kombinasyon tablosu (Tablo 4.1) esas alınır.

Adım 5 — Moment Dağılımı: Kolon Şeridi ve Orta Şerit

TS 500:2000 Tablo 11.1 ve Tablo 11.2'ye göre toplam açıklık ve mesnet momenti, kolon şeridi ile orta şerit arasında dağıtılır. Bu dağılım direkt tasarım yöntemiyle (DDM) elde edilen sonuçlarla uyumludur.

3. Formüller

Toplam Açıklık Momenti

$$M_0 = \frac{q_d \cdot l_2 \cdot l_n^2}{8} \quad \text{(TS 500:2000 Madde 11.2.3)}$$

Burada $l_n$ = net açıklık; $l_n \geq 0{,}65 \cdot l_1$ koşulu sağlanmalıdır.

Mesnet ve Açıklık Moment Dağılımı (TS 500:2000 Tablo 11.1)

İç açıklıklar:

• İç mesnet momenti: $M^- = 0{,}65 \cdot M_0$
• Açıklık momenti: $M^+ = 0{,}35 \cdot M_0$

Uç açıklıklar (kenar kolonda moment aktarımı olmadığı varsayımıyla):

• İç mesnet momenti: $M^-_{\text{iç}} = 0{,}70 \cdot M_0$
• Açıklık momenti: $M^+_{\text{uç}} = 0{,}52 \cdot M_0$
• Dış mesnet momenti: $M^-_{\text{dış}} = 0{,}26 \cdot M_0$

Moment Dağılım Katsayıları (TS 500:2000 Tablo 11.2)

Tablo 5: Moment Dağılım Katsayıları (TS 500:2000 Tablo 11.2)

Sismik Yük: Dengesiz Moment Aktarım Faktörü

TBDY 2018 Madde 7.11.8 ve ACI 318-19 Madde 8.4.2.3.2'ye göre döşeme-kolon birleşiminde dengesiz moment aktarımının eğilme payı:

$$\gamma_f = \frac{1}{1 + \dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{b_1}{b_2}}} \quad \text{(TBDY 2018 Md. 7.11.8)}$$

Kesme payı: $\gamma_v = 1 - \gamma_f$

4. Zımbalama Kesme Güvenliği

Kirişsiz döşemelerin en kritik davranış modlarından biri zımbalama kesmesidir (punching shear). Kolon çevresinde ani ve gevrek kırılma meydana gelebilir.

Tasarım Zımbalama Yükü (TS 500:2000 Denklem 8.20)

$$V_d = F_d - F_a$$

$F_d$: Üst kat eksenel yük eksi alt kat eksenel yük (katsayılı yükler ile). $F_a$: Zımbalama çevresi içine düşen döşeme yükü.

Zımbalama Çevresi (TS 500:2000 Madde 8.3.3)

Dikdörtgen kolon için (kolon yüzünden $d/2$ uzaklıkta):

$$U_p = 2(b_1 + b_2) \quad b_1 = c_1 + d,\quad b_2 = c_2 + d$$

$d$: Döşeme faydalı yüksekliği.

Zımbalama Dayanımı (TS 500:2000 Denklem 8.21, 8.24)

$$V_{pr} = \gamma \cdot f_{ctd} \cdot U_p \cdot d$$

$\gamma$: Moment etkisi altında dayanımı azaltan katsayı:

$$\gamma = \frac{1}{1 + e \cdot \dfrac{b_1}{d}} \leq 1{,}0 \quad \text{(Dikdörtgen kolon)}$$

$e$: Döşemede dengelenmemiş momentinin %40'ından hesaplanan dışmerkezlik.

Beton tasarım çekme dayanımı (TS 500:2000 Madde 3.3):

$$f_{ctd} = 0{,}35 \cdot \sqrt{f_{ck}} / 1{,}5 \quad \text{(MPa)}$$

Tablo 6: Zımbalama Dayanımı (TS 500:2000 Denklem 8.21, 8.24)

Koşul

$$V_{pr} \geq V_d \quad \text{(Zımbalama güvenliği)}$$

Eğer $V_{pr} < V_d$ ise:

• Döşeme kalınlığını artır ($h_s$)
• Kolon boyutlarını artır ($c_1$, $c_2$)
• Mantar başlık kullan
• Deprem momentleri nedeniyle $V_{pr} < V_d$ ise zımbalama donatısı kullan; ancak $V_d \leq 1{,}5 V_{pr}$ koşulu sağlanmalıdır.

Zımbalama donatısı (TS 500:2000 Madde 8.3.4, $h_s \geq 250\text{ mm}$ için):

$$A_{sb} = \frac{V_d - V_{pr}}{0{,}5 f_{yd}}$$

Saha Notu: Türkiye'de zımbalama hasarı, 1999 Kocaeli ve 2023 Kahramanmaraş depremleri gibi büyük depremlerde kirişsiz döşemeli yapılarda en sık görülen kırılma modlarından biri olmuştur. TBDY 2018, bu nedenle kirişsiz döşemeli sistemleri yüksek sismik bölgelerde kısıtlamakta ve deprem etkilerinin perdeler tarafından karşılanmasını zorunlu kılmaktadır.

Dikkat: TS 500:2000 Madde 8.3.4'e göre döşeme kalınlığı 25 cm'den az olan döşemelerde zımbalama donatısı kullanımına izin verilmemektedir. Yalnızca $h_s \geq 250\text{ mm}$ durumunda donatıyla güçlendirme yapılabilir.

5. TBDY 2018'e Göre Sismik Tasarım Gereklilikleri

Kirişsiz döşemeli sistemler, deprem etkisi altında özel koşullar gerektirmektedir.

5.1 İki Aşamalı Hesap (TBDY 2018 Madde 4.3.4.4)

1. Birinci aşama: Çerçeve kolonları alttan ve üstten mafsallı alınır → deprem etkilerinin tamamı perdeler tarafından karşılanır.
2. İkinci aşama: Colonlar monolitik (rijit bağlantılı) modellenir.
3. Her iki aşamadan elverişsiz iç kuvvet sonuçları esas alınır. Göreli kat ötelemesi ikinci aşama sonuçlarından hesaplanır.

Tablo 7: İki Aşamalı Hesap (TBDY 2018 Madde 4.3.4.4)

5.2 Döşeme-Kolon Birleşim Bölgesi Kontrolü (TBDY 2018 Madde 7.11)

Döşeme-kolon birleşim bölgesinde dengesiz momentten kaynaklanan sismik yük aktarımı:

• $\gamma_f$ oranı eğilme ile aktarılır
• $\gamma_v = 1 - \gamma_f$ oranı kesme sürtünmesiyle aktarılır
• Zımbalama kontrolü sismik kombinasyon ($G + Q + E$) için yeniden yapılır

5.3 Döşemeden Perdeye Deprem Kuvveti Aktarımı (TBDY 2018 Madde 7.11.5)

Döşemeden perdeye aktarılacak deprem kuvveti:

$$V_d = D \cdot (V_{d,i} - V_{d,i+1})$$

$D$: Dayanım fazlalığı katsayısı; $V_{d,i}$ ve $V_{d,i+1}$: Alt ve üst kat perde kesme kuvvetleri.

Aktarım donatısı kesme sürtünmesiyle (TS 500:2000 Madde 7.6) hesaplanır.

Saha Notu: Türkiye'de A12 ve A13 sistemleri konut sitelerinde (villa, AVM, ofis), A32 ise düşük sismik riskli bölgelerde kullanılmaktadır. İstanbul, İzmir, Bursa gibi yüksek deprem riskli büyük şehirlerde kirişsiz döşemeli çözüm gerektiren projelerde TBDY 2018'in iki aşamalı hesap zorunluluğu mutlaka uygulanmalıdır.

Dikkat: TBDY 2018 Madde 4.3.4.4 uyarınca, kirişsiz döşeme içeren bina projesinde perdeler yeterli sayı ve konumda yerleştirilmemişse, deprem hesabı geçersiz sayılabilir ve yapı ruhsatı alınamaz.

6. Tablo: Moment Dağılım Yüzdeleri

Tablo 8: Tablo: Moment Dağılım Yüzdeleri

7. Sayısal Örnek (Orijinal)

Veriler

• Plak boyutları: $l_1 = 6{,}0\text{ m}$, $l_2 = 5{,}5\text{ m}$ (iç açıklık)
• Döşeme kalınlığı: $h_s = 220\text{ mm}$
• Beton sınıfı: C30 → $E_c = 31\,800\text{ MPa}$
• Tasarım yük: $q_d = 12{,}5\,\text{kN/m}^2$ ($1{,}4G + 1{,}6Q$)
• Net açıklık: $l_n = 6{,}0 - 0{,}50 = 5{,}50\text{ m}$ (kolon $500 \times 500\text{ mm}$)

Adım 1 — Toplam açıklık momenti:

$$M_0 = \frac{12{,}5 \times 5{,}5 \times 5{,}5^2}{8} = \frac{12{,}5 \times 5{,}5 \times 30{,}25}{8} = \frac{2079{,}7}{8} = 259{,}9\,\text{kN\cdot m}$$

$l_n = 5{,}50 \geq 0{,}65 \times 6{,}0 = 3{,}90\text{ m}$ → Koşul sağlanıyor.

Adım 2 — Moment dağılımı (iç açıklık, TS 500:2000 Tablo 11.1):

• Mesnet momenti: $M^- = 0{,}65 \times 259{,}9 = 169{,}0\,\text{kN\cdot m}$
• Açıklık momenti: $M^+ = 0{,}35 \times 259{,}9 = 90{,}9\,\text{kN\cdot m}$

Adım 3 — Kolon şeridi genişliği:

$$b_{cs} = 2 \times \min\left(\frac{l_1}{4}, \frac{l_2}{4}\right) = 2 \times \min(1{,}50, 1{,}375) = 2 \times 1{,}375 = 2{,}75\,\text{m}$$

Adım 4 — Kolon şeridine düşen mesnet momenti:

$$M^-_{cs} = 0{,}75 \times 169{,}0 = 126{,}8\,\text{kN\cdot m}$$ $$M^-_{cs,\text{birim}} = \frac{126{,}8}{2{,}75} = 46{,}1\,\text{kN\cdot m/m}$$

Adım 5 — Orta şeridine düşen mesnet momenti:

$$M^-_{ms} = 0{,}25 \times 169{,}0 = 42{,}3\,\text{kN\cdot m}$$ $$M^-_{ms,\text{birim}} = \frac{42{,}3}{2{,}75} = 15{,}4\,\text{kN\cdot m/m}$$

8. Örnek Problemler

Problem 1 — Kolay

Veriler:

• $l_1 = 5{,}4\text{ m}$, $l_2 = 5{,}4\text{ m}$ (kare iç panel)
• Kolon boyutu: $450 \times 450\text{ mm}$
• Döşeme kalınlığı: $h_s = 200\text{ mm}$
• Tasarım yük: $q_d = 11{,}2\,\text{kN/m}^2$
• Net açıklık: $l_n = 5{,}4 - 0{,}45 = 4{,}95\text{ m}$

İstenen: Toplam açıklık momentini ($M_0$) ve kolon şeridine düşen negatif mesnet momentini hesapla (TS 500:2000 Tablo 11.2).

Çözüm:

Adım 1 — $l_n$ kontrolü:

$$l_n = 4{,}95 \geq 0{,}65 \times 5{,}4 = 3{,}51\,\text{m} \quad \checkmark$$

Adım 2 — Toplam açıklık momenti:

$$M_0 = \frac{q_d \cdot l_2 \cdot l_n^2}{8} = \frac{11{,}2 \times 5{,}4 \times 4{,}95^2}{8} = \frac{11{,}2 \times 5{,}4 \times 24{,}5}{8} = \frac{1481{,}8}{8} = 185{,}2\,\text{kN\cdot m}$$

Adım 3 — İç mesnet momenti (TS 500:2000 Tablo 11.1, iç açıklık):

$$M^- = 0{,}65 \times 185{,}2 = 120{,}4\,\text{kN\cdot m}$$

Adım 4 — Kolon şeridi genişliği:

$$b_{cs} = 2 \times \frac{l_2}{4} = 2 \times 1{,}35 = 2{,}70\,\text{m} \quad (l_1 = l_2 = 5{,}4\,\text{m})$$

Adım 5 — Kolon şeridi negatif mesnet momenti (%75):

$$M^-_{cs} = 0{,}75 \times 120{,}4 = 90{,}3\,\text{kN\cdot m}$$ $$M^-_{cs,\text{birim}} = \frac{90{,}3}{2{,}70} = 33{,}4\,\text{kN\cdot m/m}$$

Sonuç: $M_0 = 185{,}2\,\text{kN\cdot m}$; Kolon şeridi mesnet momenti (birim) $= 33{,}4\,\text{kN\cdot m/m}$

Problem 2 — Orta

Veriler:

• $l_1 = 5{,}0\text{ m}$ (iç açıklık), $l_2 = 5{,}5\text{ m}$
• Kolon boyutu: $c_1 = 500\text{ mm}$, $c_2 = 500\text{ mm}$
• Döşeme kalınlığı: $h_s = 250\text{ mm}$
• Kat yüksekliği: $l_c = 3{,}0\text{ m}$
• Beton: C30 → $E_c = 31\,800\text{ MPa}$, $f_{ck} = 30\text{ MPa}$
• Yük: $q_d = 13{,}5\,\text{kN/m}^2$

İstenen: İç açıklık için (a) döşeme şeridi rijitliği $K_{sb}$, (b) sabit uç momenti (FEM), (c) kolon rijitliği $K_c$, (d) dağılım faktörü (DF) hesapla.

Çözüm:

a) Döşeme atalet momenti:

$$I_s = \frac{l_2 \cdot h_s^3}{12} = \frac{5500 \times 250^3}{12} = \frac{5500 \times 15{,}625 \times 10^6}{12} = 7{,}161 \times 10^9\,\text{mm}^4$$

b) $c_1/l_1$ oranı ve $k$ katsayısı (ACI 318-19 tablo EK — interpolasyon):

$$\frac{c_1}{l_1} = \frac{500}{5000} = 0{,}100 \quad \Rightarrow \quad k = 4{,}4{-}4{,}2 \approx 4{,}29 \text{ (iç açıklık her iki uçta)}$$

c) Döşeme rijitliği:

$$K_{sb} = \frac{k \cdot E_c \cdot I_s}{l_1} = \frac{4{,}29 \times 31\,800 \times 7{,}161 \times 10^9}{5000} = 1{,}951 \times 10^{10}\,\text{N\cdot mm}$$

d) Kolon rijitliği:

$$I_c = \frac{c_1^3 \cdot c_2}{12} = \frac{500^3 \times 500}{12} = 5{,}208 \times 10^9\,\text{mm}^4$$ $$K_c = \frac{4 E_c I_c}{l_c} = \frac{4 \times 31\,800 \times 5{,}208 \times 10^9}{3000} = 2{,}212 \times 10^{11}\,\text{N\cdot mm} = 6{,}944 \times 10^6 E_c\,\text{N\cdot mm}$$

e) Sabit uç momenti (FEM):

$$FEM = 0{,}0855 \cdot q_d \cdot l_2 \cdot l_1^2 = 0{,}0855 \times 13{,}5 \times 5{,}5 \times 5{,}0^2 = 0{,}0855 \times 13{,}5 \times 137{,}5 = 158{,}7\,\text{kN\cdot m}$$

Sonuç: $K_{sb} \approx 5{,}12 \times 10^6 E_c\text{ N\cdot mm}$; $K_c \approx 6{,}94 \times 10^6 E_c\text{ N\cdot mm}$; $FEM = 158{,}7\text{ kN\cdot m}$

Kontrol: Dağılım faktörü iç düğümde:

$$DF_{sb} = \frac{K_{sb}}{2K_{sb} + K_c} = \frac{5{,}12}{2 \times 5{,}12 + 6{,}94} = \frac{5{,}12}{17{,}18} = 0{,}298 \approx 0{,}30$$

Makul aralıkta ($0{,}20{-}0{,}40$).

Problem 3 — Zor

Verilen:

• Kirişsiz döşeme; $h_s = 250\text{ mm}$; $d = 220\text{ mm}$
• Kolon boyutu: $c_1 = c_2 = 300\text{ mm}$ (kare kolon)
• Döşeme tasarım yükü: $q_d = 15\,\text{kN/m}^2$
• Kolon eksenel yük farkı (katsayılı): $F_d = F_2 - F_1 = 1300 - 880 = 420\text{ kN}$ (yalnız düşey yük)
• Depremli durum: $F_{d,dep} = 1170 - 800 = 370\text{ kN}$; $M_{d1} = 85\text{ kN\cdot m}$, $M_{d2} = 95\text{ kN\cdot m}$
• Beton: C20 → $f_{ctd} = 1{,}00\,\text{N/mm}^2$ (Not: TBDY 2018 deprem bölgesi için C25 minimum — bu örnek eski yönetmelik dönemiyle uyumlu)
• Çelik: S420

İstenen: (a) Yalnız düşey yük için zımbalama güvenliği, (b) Deprem + düşey yük kombinasyonu için zımbalama güvenliği, gerekirse donatı hesabı.

Çözüm:

(a) Yalnız düşey yük (TS 500:2000 Md. 8.3.3–8.3.4):

Adım 1 — Zımbalama çevresi ($d/2 = 110\text{ mm}$ ötede):

$$b_1 = c_1 + d = 300 + 220 = 520\,\text{mm}$$ $$b_2 = c_2 + d = 300 + 220 = 520\,\text{mm}$$ $$U_p = 2(b_1 + b_2) = 2(520 + 520) = 2080\,\text{mm}$$

Adım 2 — Zımbalama çevresi içi yük:

$$F_a = q_d \cdot b_1 \cdot b_2 = 15 \times 0{,}52 \times 0{,}52 = 4{,}06\,\text{kN}$$

Adım 3 — Tasarım zımbalama yükü:

$$V_d = F_d - F_a = 420 - 4{,}06 \approx 416\,\text{kN}$$

Adım 4 — Moment ihmal, $\gamma = 1{,}0$; Zımbalama dayanımı:

$$V_{pr} = \gamma \cdot f_{ctd} \cdot U_p \cdot d = 1{,}0 \times 1{,}00 \times 2080 \times 220 = 457{,}6\,\text{kN}$$

Kontrol: $V_{pr} = 457{,}6 > V_d = 416\text{ kN}$ → Güvenlik sağlandı

(b) Deprem + düşey yük:

Adım 1 — Dengesiz moment: $M_d = (M_{d1} + M_{d2})/2 = (85 + 95)/2 = 90\text{ kN\cdot m}$

Adım 2 — Dışmerkezlik (%40 alınır, TS 500:2000):

$$e = \frac{0{,}40 \cdot M_d}{F_{d,dep}} = \frac{0{,}40 \times 90}{370} = \frac{36}{370} = 0{,}097\,\text{m} = 97\,\text{mm}$$

Adım 3 — $\gamma$ katsayısı:

$$\gamma = \frac{1}{1 + e \cdot \dfrac{b_1}{d}} = \frac{1}{1 + 0{,}097 \times \dfrac{520}{220}} = \frac{1}{1 + 0{,}097 \times 2{,}364} = \frac{1}{1{,}229} = 0{,}814$$

Adım 4 — Tasarım zımbalama yükü (depremli):

$$F_{a,dep} = 10 \times 0{,}52 \times 0{,}52 = 2{,}70\,\text{kN}$$ $$V_{d,dep} = 370 - 2{,}70 = 367{,}3\,\text{kN}$$

Adım 5 — Dayanım:

$$V_{pr,dep} = 0{,}814 \times 1{,}00 \times 2080 \times 220 = 372{,}6\,\text{kN}$$

Kontrol: $V_{pr,dep} = 372{,}6 > V_{d,dep} = 367{,}3\text{ kN}$ → Sınırda güvenlik sağlandı

Ancak $V_{pr,dep}/V_{d,dep} = 1{,}014$ → Güvenlik payı %1,4 olup kritik düzeyde. Pratikte C25 veya C30 beton ile güvenlik artırılmalıdır.

Not: TBDY 2018 kapsamındaki projelerde C25 minimum beton şarttır. C30 seçilmesi durumunda:

$$f_{ctd} = 0{,}35 \times \sqrt{30} / 1{,}5 = 0{,}35 \times 5{,}477 / 1{,}5 = 1{,}278\,\text{N/mm}^2$$ $$V_{pr,dep,C30} = 0{,}814 \times 1{,}278 \times 2080 \times 220 = 476\,\text{kN} \gg 367\,\text{kN} \quad \checkmark$$

Sonuç: Depremli durumda C20 ile sınırda güvenlik sağlansa da TBDY 2018 kapsamında C30 beton kullanımı zorunlu olup güvenlik oranı $V_{pr}/V_d = 476/367 = 1{,}30$ olmaktadır.

9. Sık Yapılan Hatalar

1. $l_n \geq 0{,}65 \cdot l_1$ koşulunu atlamak: Geniş kolonlarda bu sınır belirleyici olur; küçük net açıklıkla $M_0$ hatalı hesaplanır.
2. Burulma rijitliği $K_t$'yi ihmal etmek: Mesnet momentleri olduğundan yüksek hesaplanır; açıklık donatısı yetersiz kalır.
3. Kolon şeridi sınırlarını yanlış belirlemek: $l_1$ ve $l_2$ eşit olmayan panellerde küçük değer esas alınmalıdır.
4. Kolon yüzünde moment almamak: Kritik kesit kolon yüzündedir, merkez-merkez değil.
5. TBDY 2018 iki aşamalı hesabı yapmamak: Mafsallı-mafsallı ve monolitik analiz ayrı ayrı yürütülmeli; elverişsiz durum seçilmelidir.
6. Zımbalama kontrolünü depremli kombinasyonda ihmal etmek: TBDY 2018 Madde 7.11.4, sismik kombinasyonla birlikte delme kontrolü zorunlu kılmaktadır.
7. Açıklık momentini tam olarak dağıtmamak: $M^+ = 0{,}35 M_0$ değerinin kolon şeridine %60, orta şeride %40 dağıtılması gerekirken sadece toplam hesaplanıp geçilmesi.

İlgili Standartlar ve Kaynaklar

1. TS 500:2000 — Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları, Madde 11.2–11.4 (İki Doğrultulu Döşemeler) ve Madde 8.3 (Zımbalama).
2. TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği, Madde 4.3.4.4 (Kirişsiz döşemeli sistemler) ve Madde 7.11 (Döşeme-Kolon birleşim bölgeleri). RG tarihi: 18.03.2018, Sayı: 30364.
3. TS EN 1992-1-1:2004 — Design of Concrete Structures, Madde 5.3.3 (Equivalent Frame Method). Türkiye'de TS EN 1992-1-1:2004 olarak yayımlanmıştır.
4. ACI 318-19 — Building Code Requirements for Structural Concrete, Bölüm 8.11 (Equivalent Frame Method) ve Bölüm 22.6 (Punching Shear).
5. TS 498:1997 — Yapı Elemanlarının Boyutlandırılmasında Alınacak Yüklerin Hesap Değerleri.
6. Ersoy, U. & Özcebe, G. — Betonarme, METU Press, 2016, Bölüm 11.
7. Dündar, C. & Karaahmeth, S. — Zımbalama Etkisi, İMZ-304 Betonarme 2 Ders Notları, Toros Üniversitesi.
8. Al-Mulali, M.Z. — Equivalent Frame Method (EFM), Al-Mustaqbal University College, 2022.
9. Structurepoint — Two-Way Flat Plate Concrete Floor System Design, ACI 318-14, 2017.
10. Keleş, Y., Kasap, H. & Yaman, Z. — "Evaluating the Effects of Different Slab Types on Static and Dynamic Characteristics," Challenge Journal of Structural Mechanics, 7(2), 2021. DOI: 10.20528/cjsmec.2021.02.003.

Kaynaklar

1. TS 500:2000 — TSE — Türk Standardları Enstitüsü. https://www.tse.org.tr
2. TBDY 2018 — AFAD / T.C. Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı. https://www.resmigazete.gov.tr/eskiler/2018/03/20180318M1-2.htm
3. TS EN 1992-1-1:2004 — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu
4. ACI 318-19 — American Concrete Institute (ACI). https://www.concrete.org

İlgili Makaleler

• Bkz. BA-004 — Betonarme Döşeme Tasarımı (Temel döşeme teorisi)
• Bkz. BA-030 — Kirişsiz Döşeme Sistemleri
• Bkz. BA-031 — Mantar Döşeme Tasarımı
• Bkz. BA-033 — Zımbalama Kesme Hesabı
• Bkz. BA-040 — Döşeme Süreklilik ve Yük Aktarımı

Kaynakça

1. İlgili Türk Standartları (TS) ve Avrupa Normları (EN)
2. TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği
3. İlgili ders kitapları ve teknik kaynaklar

Not: Bu makale eğitim amaçlıdır. Projelerde güncel yönetmelik ve standartlara başvurunuz.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Döşeme Donatısı Hesaplama
• Kiriş Boyutlandırma Hesaplama
• Kolon Boyutlandırma Hesaplama
• İnşaat Demiri Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.