Sıcaklık ve Rötre Yükleri Hesabı

Giriş

Sıcaklık değişimleri ve beton rötresinden kaynaklanan deformasyonlar, serbest (izostatik) yapılarda iç kuvvet oluşturmaz; ancak hiperstatik (statikçe belirsiz) yapılarda kısıtlı deformasyonlar büyük eksenel kuvvetlere ve momentlere neden olur. TS EN 1991-1-5:2004, yapılara etkiyen ısıl etkileri (thermal actions) ve hesap yöntemini tanımlar; TS EN 1992-1-1:2005 Madde 3.1.4 beton rötresi ve sünme etkilerini düzenler; TS 500:2000 Madde 6.3.4 ise Türkiye'deki betonarme yapılarda dilatasyon derzi aralıklarına ilişkin zorunlu sınırları belirler.

Türkiye'de dış ortama açık yapılar için sıcaklık değişim aralığı, Ege ve Akdeniz kıyılarında yaklaşık 45–50 °C iken İç Anadolu ve Doğu Anadolu'da 60–75 °C'ye ulaşabilmektedir. Bu geniş aralık, uzun yapılar ve köprü kirişleri için sıcaklık etkisini tasarım açısından belirleyici kılmaktadır.

Saha Notu: Türkiye'deki şantiyelerde beton dökümü genellikle +5 °C ile +35 °C arasında gerçekleşir. Başlangıç sıcaklığı $T_0$ olarak TS EN 1991-1-5:2004 Ek A uyarınca $T_0 = 10$ °C veya MGM'den alınan mevsimsel ortalama kullanılmalıdır.

1. Sıcaklık Etkisi Bileşenleri (TS EN 1991-1-5:2004 Madde 6.1)

TS EN 1991-1-5:2004 kapsamında herhangi bir kesitte etkiyen anlık ısıl alan $T(y,z)$ dört bileşene ayrışır:

Tablo 1: Sıcaklık Etkisi Bileşenleri (TS EN 1991-1-5:2004 Madde 6.1)

Dikkat: Doğrusal olmayan gradyan bileşeni tek başına iç kuvvet oluşturmaz (kendiliğinden dengelenen gerilme); ancak hasar birikimi açısından ihmal edilmemelidir.

1.1 İzostatik ve Hiperstatik Yapıların Farkı

İzostatik (statikçe belirli) sistemlerde sıcaklık değişimi yalnız deplasmana yol açar; iç kuvvet oluşmaz. Hiperstatik sistemlerde ise deplasmanlarla birlikte kesit tesirleri de meydana gelir. Bu ayrım, TS EN 1990:2002/A1:2005 kapsamındaki denge (EQU) ve yapısal (STR) limit durum kontrollerini doğrudan etkiler.

2. Rötre Türleri (TS EN 1992-1-1:2005 Madde 3.1.4)

Tablo 2: Rötre Türleri (TS EN 1992-1-1:2005 Madde 3.1.4)

Türkiye iklim koşullarında (özellikle düşük bağıl nemli İç ve Güneydoğu Anadolu'da) kuruma rötresü değerleri en yüksek düzeye ulaşmaktadır; ince elemanlarda $\varepsilon_{cd} = 0.0004\text{–}0.0006$ değerleri görülebilir.

Otogenik rötre gerinimi (TS EN 1992-1-1:2005 Denklem 3.13):

$$\varepsilon_{ca}(\infty) = 2.5 \times (f_{ck} - 10) \times 10^{-6}$$

C30 için $\varepsilon_{ca}(\infty) = 50 \times 10^{-6}$; C50 için $100 \times 10^{-6}$.

3. Hesap Yöntemi

3.1 Türkiye İklim Bölgelerine Göre Tasarım Sıcaklık Aralıkları

Tablo 3: Türkiye İklim Bölgelerine Göre Tasarım Sıcaklık Aralıkları

TS EN 1991-1-5:2004 Ek A uyarınca Türkiye için milli ek değerleri tam olarak yayımlanmamıştır. Uygulamada MGM'nin ilgili istasyona ait ≥30 yıllık ekstrem sıcaklık verileri esas alınmalıdır.

Başlangıç sıcaklığı:

$$T_0 = \frac{T_s + T_w}{2}$$

Tamamlanma zamanı bilinmiyorsa $T_0 = 10$ °C kullanılabilir (TS EN 1991-1-5:2004 Ek A).

3.2 Düzgün Sıcaklık Bileşeni

$$\Delta T_u = T_{max} - T_0 \quad \text{(uzama için)}$$ $$\Delta T_u = T_{min} - T_0 \quad \text{(kısalma için)}$$

Tam kısıtlı eksenel kuvvet:

$$N_T = \alpha_T \cdot \Delta T_u \cdot E \cdot A \quad \text{[kN]}$$

3.3 Isıl Uzama Katsayıları

Tablo 4: Isıl Uzama Katsayıları

3.4 Doğrusal Gradyandan Eğilme Momenti

Doğrusal gradyanlı kiriş veya levha için:

$$M_T = E \cdot I \cdot \frac{\alpha_T \cdot \Delta T_M}{h}$$ $$\Delta T_M = T_{\text{üst}} - T_{\text{alt}} \quad [°\text{C}]$$

Serbest sehim (kısıtsız, iki uçlu mesnetli kiriş):

$$\kappa = \frac{\alpha_T \cdot \Delta T_M}{h}, \quad \delta_{maks} = \frac{\kappa L^2}{8}$$

Köprü döşemesi için karakteristik lineer sıcaklık farkı (TS EN 1991-1-5:2004 Tablo 6.1, 50 mm kaplama):

Tablo 5: Doğrusal Gradyandan Eğilme Momenti

3.5 Rötre Kuvvetleri

Toplam rötre gerinimi:

$$\varepsilon_{cs} = \varepsilon_{cd} + \varepsilon_{ca}$$

Kuruma rötresü:

$$\varepsilon_{cd}(t) = \beta_{ds}(t,t_s) \cdot k_h \cdot \varepsilon_{cd,0}$$

Efektif kalınlık:

$$h_0 = \frac{2 A_c}{u} \quad \text{[mm]}$$

$k_h$ katsayısı (TS EN 1992-1-1:2005 Tablo 3.3):

Tablo 6: Rötre Kuvvetleri

Temel kuruma rötresü $\varepsilon_{cd,0}$ (‰) — CEM Sınıfı N (TS EN 1992-1-1:2005 Tablo 3.2):

Tablo 7: Rötre Kuvvetleri

Tam kısıtlı rötre kuvveti:

$$N_{rötre} = \varepsilon_{cs} \cdot E_c \cdot A_c$$

3.6 Sünme (Creep) Etkisi

Efektif elastisite modülü:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1 + \varphi(\infty, t_0)}$$

$\varphi = 2$ için $E_{c,eff} \approx E_{cm}/3$. Sünme etkisi uzun dönem yük ve rötre hesaplarında zorunlu olarak kullanılmalıdır.

4. Uygulama Akışı

5. Dilatasyon Derzi Zorunlulukları (TS 500:2000 Madde 6.3.4)

Tablo 8: Dilatasyon Derzi Zorunlulukları (TS 500:2000 Madde 6.3.4)

Pratik derz genişliği kuralı: Her 10 m uzunluk için ~1 cm; ortalama 30 m'lik blok için 3 cm derz.

TBDY 2018 Uyarısı: Deprem derzleri ile dilatasyon derzleri ayrı değerlendirilmelidir. TBDY 2018 Madde 3.6.1 uyarınca deprem derzinin genişliği her iki binanın deplasmanları toplamından az olamaz; bu genellikle dilatasyon derzinden büyük olduğundan tek açıklıkta her iki amaca hizmet edecek genişlik seçilmelidir.

6. Yük Kombinasyonlarında Sıcaklık

TS EN 1990:2002 Tablo A.1 uyarınca sıcaklık yükü:

• GKD kombinasyonlarında: $\psi_0 = 0.6$ ile azaltılır
• KKD sık kombinasyonunda: $\psi_1 = 0.5$
• KKD karakteristik kombinasyonunda: $\psi_2 = 0$ (uzun dönem etkisi yok sayılır)

7. Çözümlü Problemler

Problem 1: C30 Döşeme — Uzun Dönem Toplam Rötre (Temel)

Veriler:

• Beton: C30/37 ($f_{ck} = 30$ MPa)
• Bağıl nem: RH = 60%
• Efektif kalınlık: $h_0 = 300$ mm
• Çimento: CEM Sınıfı N; uzun dönem ($t \to \infty$)

Çözüm:

TS EN 1992-1-1:2005 Tablo 3.2'den ($f_{ck} = 30$ MPa, RH = 60%):

$$\varepsilon_{cd,0} \approx 0.43 \text{ ‰} = 4.3 \times 10^{-4}$$

TS EN 1992-1-1:2005 Tablo 3.3'ten ($h_0 = 300$ mm): $k_h = 0.75$

Uzun dönem ($\beta_{ds} \to 1.0$):

$$\varepsilon_{cd}(\infty) = 1.0 \times 0.75 \times 4.3 \times 10^{-4} = 3.23 \times 10^{-4}$$

Otogenik rötre:

$$\varepsilon_{ca}(\infty) = 2.5 \times (30 - 10) \times 10^{-6} = 50 \times 10^{-6} = 0.50 \times 10^{-4}$$

Toplam rötre:

$$\varepsilon_{cs} = 3.23 \times 10^{-4} + 0.50 \times 10^{-4} = 3.73 \times 10^{-4} \approx 0.373 \text{ ‰}$$

Kontrol: C30 betonu için beklenen aralık 0.0003–0.0004; değer tutarlı. $\checkmark$

Problem 2: İstanbul Köprü Kirişi — Sıcaklık ve Gradyan (Orta)

Veriler:

• Yapı: Tam kısıtlı betonarme çerçeve kirişi, $L = 20$ m
• Beton C30/37: $E_{cm} = 33\,000$ MPa
• Kesit: 300×600 mm → $A_c = 0.18$ m², $I = 5.4 \times 10^{-3}$ m⁴, $h = 0.60$ m
• İstanbul: $T_{max} = 38$ °C, $T_{min} = -10$ °C, $T_0 = 10$ °C
• Tip 3 (beton kiriş, üst sıcak): $\Delta T_M = 15$ °C
• $\alpha_T = 10 \times 10^{-6}$ /°C

a) Düzgün sıcaklık bileşeni:

Çözüm:

$$\Delta T_{u,yaz} = 38 - 10 = +28 \text{ °C (uzama)}$$ $$\Delta T_{u,kış} = -10 - 10 = -20 \text{ °C (kısalma)}$$

Yaz — kısıtlı basınç:

$$N_{T,yaz} = 10 \times 10^{-6} \times 28 \times 33\,000 \times 10^3 \times 0.18 = 1\,663 \text{ kN (basınç)}$$

Kış — kısıtlı çekme:

$$N_{T,kış} = 10 \times 10^{-6} \times 20 \times 33\,000 \times 10^3 \times 0.18 = 1\,188 \text{ kN (çekme)}$$

b) Lineer gradyan momenti:

$$M_T = E_{cm} \cdot I \cdot \frac{\alpha_T \cdot \Delta T_M}{h} = 33\,000 \times 10^3 \times 5.4 \times 10^{-3} \times \frac{10 \times 10^{-6} \times 15}{0.60}$$ $$M_T = 44.6 \text{ kN\cdot m}$$

c) Serbest sehim (kısıtsız):

$$\kappa = \frac{10 \times 10^{-6} \times 15}{0.60} = 250 \times 10^{-6} \text{ m}^{-1}$$ $$\delta = \frac{\kappa L^2}{8} = \frac{250 \times 10^{-6} \times 400}{8} = 12.5 \text{ mm}$$

Sonuç Özeti:

Tablo 9: Problem 2: İstanbul Köprü Kirişi — Sıcaklık ve Gradyan (Orta)

Kontrol: Kış çekme gerilmesi $\sigma = N_{T,kış}/A_c = 1188/180\,000 = 6.6$ MPa $> f_{ctk,0.05} = 1.8$ MPa → çatlak oluşumu beklenmeli; donatı kontrolü zorunludur. $\checkmark$

Problem 3: Ankara Köprü Kirişi — Sünme + Rötre + Dilatasyon Derzi (İleri)

Veriler:

• Yapı: 50 m açıklıklı, tam kısıtlı betonarme köprü kirişi — Ankara
• Beton: C35/45, $f_{ck} = 35$ MPa, $E_{cm} = 34\,000$ MPa
• Kesit: T-kiriş, $A_c = 1.2$ m², $I = 0.18$ m⁴, $h = 1.8$ m
• $h_0 = 280$ mm; RH = 55% (İç Anadolu kurak koşul)
• Sıcaklık: $T_{max} = 40$ °C, $T_{min} = -18$ °C, $T_0 = 10$ °C
• $\Delta T_{M,heat} = 15$ °C (Tip 3 beton kiriş)
• Sünme katsayısı: $\varphi = 2.5$ ($h_0 = 280$ mm, RH = 55%, $t_0 = 28$ gün)

Çözüm:

Adım 1 — Uzun dönem rötre:

TS EN 1992-1-1:2005 Tablo 3.2'den ($f_{ck} = 35$ MPa, RH = 55% interpolasyon):

$$\varepsilon_{cd,0} \approx 4.6 \times 10^{-4}$$

Tablo 3.3'ten ($h_0 = 280$ mm interpolasyon):

$$k_h \approx 0.75 + \frac{300-280}{300-200} \times (0.85-0.75) = 0.77$$ $$\varepsilon_{cd}(\infty) = 1.0 \times 0.77 \times 4.6 \times 10^{-4} = 3.54 \times 10^{-4}$$ $$\varepsilon_{ca}(\infty) = 2.5 \times (35-10) \times 10^{-6} = 62.5 \times 10^{-6}$$ $$\varepsilon_{cs}(\infty) = 3.54 \times 10^{-4} + 0.625 \times 10^{-4} = 4.165 \times 10^{-4}$$

Adım 2 — Sünme düzeltmeli hesaplar:

$$E_{c,eff} = \frac{34\,000}{1 + 2.5} = 9\,714 \text{ MPa}$$

Kısıtlı rötre kuvveti (uzun dönem):

$$N_{rötre} = 4.165 \times 10^{-4} \times 9\,714 \times 10^3 \times 1.2 = 4\,857 \text{ kN (çekme)}$$

Sünme göz ardı edilseydi: $N_{rötre} = \varepsilon_{cs} \times E_{cm} \times A_c = 17\,000$ kN — sünme etkisi uzun dönem rötre kuvvetini yaklaşık 3.5 kat azaltmaktadır!

Adım 3 — Sıcaklık kuvvetleri (sünme düzeltmeli):

$$N_{T,yaz} = 10^{-5} \times 30 \times 9\,714 \times 10^3 \times 1.2 = 3\,497 \text{ kN (basınç)}$$ $$N_{T,kış} = 10^{-5} \times 28 \times 9\,714 \times 10^3 \times 1.2 = 3\,264 \text{ kN (çekme)}$$

Adım 4 — Lineer gradyan ve serbest sehim:

$$M_T = 9\,714 \times 10^3 \times 0.18 \times \frac{10^{-5} \times 15}{1.8} = 145.7 \text{ kN\cdot m}$$ $$\kappa = \frac{10^{-5} \times 15}{1.8} = 83.3 \times 10^{-6} \text{ m}^{-1}$$ $$\delta = \frac{83.3 \times 10^{-6} \times 2500}{8} = 26.0 \text{ mm}$$

Adım 5 — Dilatasyon derzi kontrolü:

$L = 50$ m $> 40$ m (dış ortam) → Dilatasyon derzi zorunludur (TS 500:2000 Md. 6.3.4).

$$w_{derz} = \frac{50}{10} \times 1 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$$

Deplasman kontrolü: $\delta_{toplam} = \alpha_T \cdot \Delta T \cdot L / 2 = 10^{-5} \times 58 \times 50 / 2 = 14.5$ mm = 1.45 cm

Derz genişliği 5 cm > 1.45 cm $\checkmark$

Problem 3 Sonuçları:

Tablo 10: Problem 3: Ankara Köprü Kirişi — Sünme + Rötre + Dilatasyon Derzi (İleri)

8. Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Sıcaklık yükü, TS EN 1990:2002 Tablo A.1 uyarınca GKD kombinasyonlarında $\psi_0 = 0.6$ ile azaltılır.
• Sünme etkisi göz ardı edildiğinde uzun vadeli sehim ve gerilmeler hafife alınmış olur; $E_{c,eff}$ kullanımı zorunludur.
• İklim kontrolü olmayan binalarda yaz–kış sıcaklık farkı 40–60 °C; Erzurum gibi karasal iklimli şehirlerde 70 °C'yi aşar.
• Betonarme kesitlerde çelik donatının $\alpha_T = 10 \times 10^{-6}$ /°C değeri beton ile eşit kabul edilir (TS EN 1992-1-1:2005 Md. 3.1.3).
• Kış sıcaklık düşüşünde betonun çekme gerilmesi $f_{ctk,0.05}$'i aşıyorsa çatlak oluşumu kaçınılmazdır; minimum donatı miktarı (TS 500:2000 Md. 7.1) mutlaka sağlanmalıdır.

9. Temel Formüller Özeti

Tablo 11: Temel Formüller Özeti

Referanslar

• TS EN 1991-1-5:2004 — Yapılara Etkiyen Isıl Etkiler
• TS EN 1992-1-1:2005 — Beton Yapıların Tasarımı — Md. 3.1.3, 3.1.4; Tablo 3.2, 3.3
• TS EN 1994-1-1:2005 — Kompozit Yapılarda Sıcaklık Etkileri
• TS EN 1990:2002 — Yapıların Projelendirilmesi için Esaslar — Ek A Tablo A.1
• TS 500:2000 — Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları — Md. 6.3.4
• MGM (Meteoroloji Genel Müdürlüğü) — Türkiye Bölgesel Ekstrem Sıcaklık Verileri
• Rouhani, S. — Temperature Analyses of Concrete Frame Bridges with FEM, Chalmers Üniversitesi, 2014

Kaynaklar

1. BYKHY 2015.
2. TS EN 1991-1-2 — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu
3. Yapısal Analiz.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Yük Kombinasyonu Hesaplama
• Deprem Yükü Hesaplama (TBDY 2018)

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.