Statik Belirli ve Belirsiz Sistemler

Yapı statiğinin temel ayrımı, bir sistemin denge denklemleri kullanılarak tamamen çözülüp çözülemeyeceğidir. Statik belirli (izostatik) sistemler yalnızca üç denge denklemiyle çözülürken, statik belirsiz (hiperstatik) sistemler ek uygunluk koşulları gerektirmektedir. Bu ayrım; kesit tesirlerini, donatı tasarımını, oturma ve sıcaklık etkilerini ve yapısal güvenliği doğrudan etkileyen temel bir yapı statiği kavramıdır.

1. Denge Denklemleri ve Serbestlik Dereceleri
2. Mesnet Tipleri
3. Hiperstatiklik Derecesi Hesabı
4. İzostatik Sistemlerin Özellikleri
5. Hiperstatik Sistemlerin Özellikleri
6. Kuvvet (Esneklik) Yöntemi
7. Açı-Yerdeğiştirme Yöntemi
8. Cross (Moment Dağıtım) Yöntemi
9. Mesnet Reaksiyon Formülleri
10. Çözümlü Örnekler
11. Tasarım Seçimi ve Pratik Öneriler
12. Sık Yapılan Hatalar

1. Denge Denklemleri ve Serbestlik Dereceleri

Düzlemsel (2D) statik analizde üç temel denge denklemi bulunmaktadır:

$\sum F_x = 0 \quad \sum F_y = 0 \quad \sum M_O = 0$

Bu denklemlerle çözülebilen bilinmeyen sayısı en fazla 3'tür. Bilinmeyen reaksiyon sayısı $r$ olmak üzere:

Tablo 1: Denge Denklemleri ve Serbestlik Dereceleri

Hiperstatiklik derecesi (fazlalık derecesi):

$n = r - 3$

2. Mesnet Tipleri

Mesnet Tiplerinin Özet Tablosu

Tablo 2: Mesnet Tiplerinin Özet Tablosu

Önemli not: Mafsallı mesnet dönmeye izin verdiğinden $M = 0$; kayıcı mesnet hem dönmeye hem de yatay harekete izin verdiğinden yalnızca dik reaksiyon oluşur.

3. Hiperstatiklik Derecesi Hesabı

Yöntem 1 — Reaksiyon Sayısı Bazlı (Kirişler)

$n = r - 3$

Burada $r$ = toplam mesnet reaksiyon sayısıdır (iç mafsallar varsa 1 ek denklem sağlar).

Yöntem 2 — Eleman ve Düğüm Sayısı Bazlı (Kafes Sistemler)

$n = m + r - 2j$

$m$ = çubuk/eleman sayısı, $r$ = reaksiyon sayısı, $j$ = düğüm noktası sayısı.

Yöntem 3 — Kapalı Göz ve İç Mafsal Bazlı (Çerçeveler)

$n = 3 \times g - i$

$g$ = kapalı göz (bağımsız döngü) sayısı, $i$ = iç mafsal sayısı.

Pratik Örnekler

Tablo 3: Pratik Örnekler

4. İzostatik Sistemlerin Özellikleri

İzostatik sistemler yalnızca denge denklemleriyle çözülebilir; kesit tesirleri malzeme ve kesit özelliklerinden bağımsızdır.

Avantajlar:

• Mesnet oturmaları iç kuvvet oluşturmaz (Türkiye'de özellikle zayıf zeminlerde önemli).
• Sıcaklık değişimleri (termal etki) ve önceden birim uzama (predeformasyon) iç kuvvet yaratmaz.
• Çözüm hızlıdır; elle hesap kolaydır.
• İmalat hataları ikincil gerilme oluşturmaz.

Dezavantajlar:

• Yük dağılımı alternatif yollarla yapılamaz; tek eleman hasarında sistem göçebilir.
• Deformasyonlar genellikle daha büyüktür.
• Yanal yük (deprem, rüzgar) altında yetersiz kalabilir.

5. Hiperstatik Sistemlerin Özellikleri

Hiperstatik sistemlerde denge denklemlerine ek olarak geometrik uygunluk koşulları (compatibility equations) yazılır.

Avantajlar:

• Yük alternatif yollarla taşınabilir; aşırı dayanım kapasitesi (redundancy) vardır.
• Maksimum moment değerleri izostatik sistemlere göre daha küçüktür.
• Deformasyonlar daha sınırlıdır; rijitlik yüksektir.
• Deprem yük taşıma kapasitesi çok daha yüksektir (TBDY 2018 Bölüm 4).

Dezavantajlar:

• Mesnet oturmaları iç kuvvet yaratır; zemin çalışması tasarımda dikkate alınmalıdır.
• Termal etki ve ön birim uzama ikincil gerilme oluşturur.
• Çözüm daha karmaşık; yazılım (SAP2000, ETABS, SCIA) genellikle zorunludur.

6. Kuvvet (Esneklik) Yöntemi

Kuvvet yöntemi (Flexibility Method / Force Method), hiperstatik sistemi bir birincil (izostatik) sisteme indirgeyerek fazlalık (redundant) kuvvetleri bilinmeyen olarak seçmektedir.

Yöntemin Adımları

1. Birincil sistem seçimi: $n$ adet mesnet reaksiyonu kaldırılarak izostatik ana sistem oluşturulur.
2. Yük altında yer değiştirme: Ana sistemde dış yükler altında, kaldırılan mesnetlerin konumundaki yer değiştirmeler $\Delta_{i0}$ hesaplanır.
3. Birim yük esneklik katsayıları: Her redundant konumuna birim yük uygulanarak esneklik katsayıları $f_{ij}$ hesaplanır.
4. Uygunluk denklemi: Kaldırılan mesnetlerdeki toplam yer değiştirme sıfır olmalıdır:

$\Delta_{i0} + \sum_{j=1}^{n} f_{ij} \cdot X_j = 0 \quad (i = 1, 2, \ldots, n)$

5. Çözüm: $n$ denklemli $n$ bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek redundant kuvvetler $X_j$ bulunur.
6. Süperpozisyon: Gerçek kesit tesirleri = ana sistem tesirleri + $X_j$ katkıları.

Esneklik Matrisi (Matrix Form)

$n$. derece hiperstatik sistem için:

$\mathbf{f} \cdot \mathbf{X} = -\boldsymbol{\Delta}_0$

$\begin{bmatrix} f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1n} \\ f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ f_{n1} & f_{n2} & \cdots & f_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} \Delta_{10} \\ \Delta_{20} \\ \vdots \\ \Delta_{n0} \end{bmatrix}$

Maxwell-Betti karşılıklılık teoreminden $f_{ij} = f_{ji}$ olduğundan esneklik matrisi simetriktir.

7. Açı-Yerdeğiştirme Yöntemi

Açı-yerdeğiştirme yöntemi (Slope-Deflection Method), düğüm dönmelerini ve göreli kat kaymasını bilinmeyen olarak seçer. Her eleman için uç momentleri, uç dönmeleri ve kirişin iki ucu arasındaki göreli yer değiştirme cinsinden ifade edilir.

Açı-Yerdeğiştirme Denklemi (Denklem 7)

$M_{AB} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_A + \theta_B - 3\psi\right) + M_{AB}^{FEM}$

$M_{BA} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_B + \theta_A - 3\psi\right) + M_{BA}^{FEM}$

Tablo 4: Açı-Yerdeğiştirme Denklemi (Denklem 7)

Yöntemin Adımları

1. Tüm düğüm dönmeleri ve göreli kat kaymaları bilinmeyen alınır.
2. Her eleman için açı-yerdeğiştirme denklemi yazılır.
3. Her düğümde $\sum M = 0$ denge denklemi uygulanır.
4. Denklem sistemi çözülerek $\theta$ ve $\psi$ değerleri bulunur.
5. Uç momentler hesaplanır, kesit tesir diyagramları çizilir.

8. Cross (Moment Dağıtım) Yöntemi

Cross yöntemi (Moment Distribution Method), iteratif bir yaklaşım yöntemidir. Her adımda dengede olmayan moment, komşu çubuklara katkı oranları (Distribution Factor) doğrultusunda dağıtılır.

Temel Kavramlar

Katkı oranı (Distribution Factor):

$DF_{ij} = \frac{k_{ij}}{\sum k}$

Burada $k_{ij} = 4EI/L$ (uzak uç ankastre) veya $k_{ij} = 3EI/L$ (uzak uç mafsallı).

Aktarma katsayısı (Carry-Over Factor):

• Uzak uç ankastre: $CO = 1/2$ (aynı yönde)
• Uzak uç mafsallı veya serbest: $CO = 0$

Cross Yönteminin Adımları

1. Tüm düğümler kilitlenir (ankastre kabul edilir).
2. Kilit momentleri hesaplanır (Fixed-End Moments — FEM).
3. Bir düğüm serbest bırakılır; dengesizlik momenti $DF$ oranıyla dağıtılır.
4. Komşu düğümlere $CO$ oranıyla aktarım yapılır.
5. İşlem, dağıtılan momentler ihmal edilebilir düzeye gelinceye dek tekrarlanır.
6. Her çubuk ucundaki toplam moment = FEM + tüm dağıtım ve aktarım toplamı.

Ankastre Uç Momentleri (Fixed-End Moments) Tablosu

Sık kullanılan FEM formülleri:

Tablo 5: Ankastre Uç Momentleri (Fixed-End Moments) Tablosu

9. Mesnet Reaksiyon Formülleri

Ankastre Kirişler — Reaksiyon Tabloları

İki Açıklıklı Sürekli Kiriş (Eşit Açıklık, Yayılı Yük)

Üç Açıklıklı Sürekli Kiriş

Üç eşit açıklıklı kiriş için temel değerler:

Tablo 6: Üç Açıklıklı Sürekli Kiriş

Etkili Uzunluk Diyagramları

Hiperstatik sistemlerde etki çizgileri sürekli (düzgün değil, eğri) görünümdedir. Bu durum, taşınan yükün büyüklüğüne göre değişen yükleme konumlarının (kritik taşıma durumu) belirlenmesinde önemlidir.

Basit Destekli Kirişler — Referans Formüller

10. Çözümlü Örnekler

Örnek 1 — Hiperstatiklik Derecesinin Belirlenmesi

Soru: Aşağıdaki sistemlerin hiperstatiklik derecelerini belirleyiniz.

a) İki açıklıklı sürekli kiriş (A: ankastre, B: kayıcı, C: kayıcı):

$r = 3 + 1 + 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad n = r - 3 = 5 - 3 = 2$

İki açıklıklı sürekli kiriş, 2. derece hiperstatiktir.

b) Portal çerçeve (A: ankastre, D: mafsallı, + iç mafsalı yok):

$r = 3 + 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad n = r - 3 = 5 - 3 = 2$

Veya kapalı göz yöntemiyle: $n = 3 \times 1 - 0 = 3$. (Her iki uç ankastre olsaydı: $r = 6$, $n = 3$.)

c) Kafes sistem (m=9 çubuk, j=6 düğüm, r=3):

$n = m + r - 2j = 9 + 3 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0$

İzostatik kafes sistem.

Örnek 2 — Cross Yöntemiyle İki Açıklıklı Kiriş

Sistem: A-B-C kirişi, AB açıklığı 5 m (A ankastre), BC açıklığı 4 m (C mafsallı). B düğümü üzerinde 50 kN tekil yük, BC ortasında uygulanmıştır. EI sabittir.

Adım 1 — Rijitlikler:

$k_{BA} = \frac{4EI}{L_{AB}} = \frac{4EI}{5} \quad k_{BC} = \frac{3EI}{L_{BC}} = \frac{3EI}{4}$

(BC uzak ucu C mafsallıdır, $k = 3EI/L$ kullanılır.)

Adım 2 — Katkı Oranları (Distribution Factors at B):

$\sum k = \frac{4EI}{5} + \frac{3EI}{4} = 0{,}800\,EI + 0{,}750\,EI = 1{,}550\,EI$

$DF_{BA} = \frac{0{,}800}{1{,}550} = 0{,}516 \quad DF_{BC} = \frac{0{,}750}{1{,}550} = 0{,}484$

Adım 3 — Ankastre Uç Momentleri:

AB açıklığında yük yok: $M_{AB}^{FEM} = M_{BA}^{FEM} = 0$

BC açıklığında (ortada P = 50 kN, C mafsallı):

$M_{BC}^{FEM} = -\frac{3PL}{16} = -\frac{3 \times 50 \times 4}{16} = -37{,}5 \text{ kNm}$

$M_{CB}^{FEM} = 0 \quad \text{(mafsallı uç, aktarım yok)}$

Adım 4 — Cross Tablosu:

Tablo 7: Örnek 2 — Cross Yöntemiyle İki Açıklıklı Kiriş

Sonuç:

$M_A = +9{,}68 \text{ kNm} \quad M_{BA} = +19{,}35 \text{ kNm} \quad M_{BC} = -19{,}35 \text{ kNm}$

Denge kontrolü: $M_{BA} + M_{BC} = 19{,}35 - 19{,}35 = 0$ ✓

Örnek 3 — Kuvvet Yöntemiyle Portal Çerçeve Analizi

Sistem: 7 m yüksekliğinde portal çerçeve. A ankastre (sol alt), B mafsallı (sağ alt). Çerçeve üst kirişi CD'ye 40 kN/m yayılı düşey yük + 100 kN yatay yük (C noktasında) uygulanmaktadır.

Hiperstatiklik derecesi:

$r = 3 \text{ (A ankastre)} + 2 \text{ (B mafsallı)} = 5 \quad \Rightarrow \quad n = 5 - 3 = 2$

2. derece hiperstatik → iki redundant bilinmeyeni vardır (çözümde $B_y$ ve $B_x$ redundant alınmıştır).

Nihai reaksiyonlar (kuvvet yöntemi çözümü):

$A_x = 41{,}9 \text{ kN} \leftarrow \quad A_y = 40{,}0 \text{ kN} \downarrow$

$B_x = 58{,}1 \text{ kN} \leftarrow \quad B_y = 240{,}0 \text{ kN} \uparrow$

Kritik moment değerleri:

$M_C = 293 \text{ kNm} \quad M_D = 407 \text{ kNm} \quad M_A = 293 \text{ kNm} \quad M_B = 407 \text{ kNm}$

11. Tasarım Seçimi ve Pratik Öneriler

Ne Zaman Hangisi Seçilmeli?

Tablo 8: Ne Zaman Hangisi Seçilmeli?

Türkiye Özel Koşulları

• TBDY 2018 Bölüm 4.3.4: Yüksek depremsellik bölgelerinde (DTS 1, DTS 2) çok katlı RC binalarda süneklik düzeyi yüksek perde-çerçeve sistem (hiperstatik) zorunludur.
• Yumuşak zemin: Farklı oturmalar bekleniyorsa izostatik mesnetleme daha güvenli; ancak deprem yükü tasarımı ayrıca incelenmelidir.
• TS 500:2000 Madde 12.1: Sürekli kirişlerde negatif moment bölgeleri için minimum üst donatı koşulları belirtilmiştir.

12. Sık Yapılan Hatalar

Tablo 9: Sık Yapılan Hatalar

Kaynaklar ve İlgili Standartlar

Tablo 10: Kaynaklar ve İlgili Standartlar

Kaynaklar

1. BYKHY 2015.
2. TS EN 1991-1-2 — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu
3. Yapısal Analiz.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Yük Kombinasyonu Hesaplama
• Deprem Yükü Hesaplama (TBDY 2018)

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.