Etkin Rijitlik Katsayıları (EI_eff) Tablosu

Dikkat: TBDY 2018 Tablo 4.2 değerleri yalnızca doğrusal deprem hesabı (kuvvete dayalı tasarım) için geçerlidir. Doğrusal olmayan performans değerlendirmesi için TBDY 2018 Madde 5.4.5 kapsamında moment-eğrilik analizine dayalı gerçek çatlamış kesit rijitliği hesaplanmalıdır.

1. Giriş ve Türkiye Bağlamı

Türkiye, dünyanın en aktif deprem kuşaklarından biri olan Alp-Himalaya kuşağı üzerinde bulunmaktadır. 1999 Marmara ve Düzce depremleri başta olmak üzere son yıllarda meydana gelen olaylar, yapı deprem güvenliğinin önemini bir kez daha ortaya koymuştur. Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği (TBDY 2018), 1 Ocak 2019 tarihi itibarıyla yürürlüğe girerek kapsamlı yenilikler getirmiştir.

Saha Notu: Türkiye'deki mevcut yapı stoğunun önemli bir bölümü eski yönetmeliklere (DBYBHY 2007 (mülga, yerine TBDY 2018) ve öncesi) göre tasarlanmıştır. Bu yapıların TBDY 2018'e göre performans değerlendirmesi yapıldığında etkin kesit rijitlik katsayıları belirleyici rol oynamaktadır. Türk mühendislik pratiğinde SAP2000 ve ETABS programlarında "Property Modifiers" (özellik düzenleyicileri) ile rijitlik katsayıları tanımlanır.

Betonarme yapıların deprem analizinde rijitlik modelleme tercihi, hem tasarım aşamasında (yeni yapılar, TBDY 2018 Bölüm 4) hem de değerlendirme aşamasında (mevcut yapılar, TBDY 2018 Bölüm 15) belirleyicidir. Yanlış rijitlik kabulü yapı periyodunu, deprem kuvvetini ve göreli kat ötelemesini hatalı verir.

2. Tanım ve Temel İlkeler

2.1 Çatlamamış ve Çatlamış Kesit Rijitliği

Betonarme kesitler, eğilme altında farklı rijitlik değerleri sergiler:

• Çatlamamış kesit (gross section): $EI_{\text{gross}} = E_c \cdot I_g$ — Hiç yük uygulanmamış veya çok düşük yük altında; tüm kesit aktif
• Çatlamış dönüştürülmüş kesit: $EI_{cr} = E_c \cdot I_{cr}$ — Tam çatlama varsayımı altında; yalnızca basınç bölgesi ve donatı aktif
• Etkin (efektif) kesit: $EI_{\text{eff}} = \kappa_{\text{eff}} \cdot E_c \cdot I_g$ — Deprem analizi için TBDY 2018 Tablo 4.2 katsayısı

Tipik olarak çatlamış kesit atalet momenti:

$I_{cr} \approx (0{,}20 - 0{,}50) \, I_g$

Dikkat: Çatlamış atalet momenti $I_{cr}$ ile etkin atalet momenti $I_g$ birbirinden farklı kavramlardır. TBDY 2018 Tablo 4.2 katsayıları, basitlik amacıyla $I_g$ üzerinden verilmektedir; bu yaklaşım analitik kolaylık sağlar ancak gerçek çatlamış kesit rijitliğini tam olarak temsil etmeyebilir.

2.2 Neden Etkin Rijitlik Önemlidir?

Deprem hesabında yapı rijitliği belirleyici bir rol üstlenir:

• Doğal titreşim periyodunu ($T_1$) doğrudan belirler: $T_1 = 2\pi\sqrt{m/k}$
• Göreli kat ötelemesi sınır kontrolünü etkiler (TBDY 2018 Madde 4.9)
• $EI_{\text{eff}}$ çok büyük alınırsa: $T_1$ küçük → deprem kuvveti büyük tahmin edilir (aşırı muhafazakâr; ekonomik kayıp)
• $EI_{\text{eff}}$ çok küçük alınırsa: $T_1$ büyük → deplasmanlar aşırı tahmin edilir; sehim sınırları sağlanmayabilir

Saha Notu: Türkiye'deki uygulamalarda özellikle rijitlik merkezi ile kütle merkezinin çakışmadığı düzensiz yapılarda rijitlik modelleme hatası burulma düzensizliğini yanlış hesaplamaya neden olabilir. TBDY 2018 Madde 4.5.9'da burulma düzensizlik katsayısı $\eta_{bi}$ hesabı doğrudan rijitlik modellemesine bağlıdır.

3. TBDY 2018 Etkin Rijitlik Katsayıları (Tablo 4.2)

3.1 Betonarme Elemanlar için $\kappa_{\text{eff}}$

TBDY 2018 Tablo 4.2, doğrusal deprem hesabında kullanılacak etkin kesit rijitlik katsayılarını eleman türüne göre tanımlar.

Tablo 1: Betonarme Elemanlar için

Kaynak: TBDY 2018 Madde 4.5.8, Tablo 4.2. Normalize aksiyel yük: $\nu = N_{Ed} / (A_c \cdot f_{ck})$

Dikkat: Kolonlarda eksenel yük oranı eşik değeri $\nu = 0{,}10$'dur. Düşük eksenel yükli kolonlarda (zemin katta dar kolonlar, çatı katı kolonları) $\nu < 0{,}10$ olması durumunda $\kappa_{\text{eff}} = 0{,}50$ alınır. Tüm kolonlara 0,70 uygulanması — özellikle hafif yüklü üst kat kolonlarında — rijitliği olduğundan büyük tahmin eder.

3.2 TBDY 2018 Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Analiz Farkı

Tablo 2: TBDY 2018 Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Analiz Farkı

Kaynak: TBDY 2018 Madde 4.5.2.2, 4.5.8, 5.4.5

4. Formüller

4.1 Etkin Rijitlik Hesabı (Doğrusal Analiz)

$EI_{\text{eff}} = \kappa_{\text{eff}} \cdot E_c \cdot I_g \quad \text{(TBDY 2018 Tablo 4.2)}$

4.2 Elastisite Modülü

TS 500:2000 Madde 2.2 formülü:

$E_c = 5000 \sqrt{f_{ck}} \quad [\text{MPa}]$

TS EN 1992-1-1:2009 (Eurocode 2) Madde 3.1.3 formülü:

$E_{cm} = 22{.}000 \left(\frac{f_{cm}}{10}\right)^{0{,}3} \quad [\text{MPa}]$

burada $f_{cm} = f_{ck} + 8$ MPa (ortalama basınç dayanımı).

Tablo 3: Elastisite Modülü

Kaynak: TS 500:2000 Çizelge 1

Saha Notu: Türkiye'de deprem bölgelerinde yeni konut yapılarında minimum C25 beton sınıfı (TBDY 2018 Madde 7.2.3), endüstri yapılarında ise C30 ve üzeri yaygın kullanımdadır. C25 için $E_c = 30.000$ MPa'dır.

4.3 Alan Atalet Momentleri (Brüt Kesit)

Dikdörtgen kesit:

$I_g = \frac{b \cdot h^3}{12}$

Dairesel kesit:

$I_g = \frac{\pi d^4}{64}$

T-kesit (yaklaşık — etkin genişlikli, TS EN 1992-1-1:2009 Madde 5.3.2):

$I_g \approx \frac{b_{\text{eff}} \cdot h^3}{12} - \frac{(b_{\text{eff}} - b_w)(h - h_f)^3}{12}$

burada $b_{\text{eff}}$ etkin flanj genişliği, $h_f$ flanj kalınlığı, $b_w$ gövde genişliğidir.

4.4 Aksiyel Yük Oranına Göre Kolon $\kappa_{\text{eff}}$

$\nu = \frac{N_{Ed}}{A_c \cdot f_{ck}} \quad \text{(normalize aksiyel yük)}$

Tablo 4: Aksiyel Yük Oranına Göre Kolon

4.5 Doğrusal Olmayan Analizde Etkin Rijitlik Hesabı

TBDY 2018 Madde 5.4.5 Denklem (5.2) — Yığılı plastik davranış modeli için:

$EI_e = \frac{M_y \cdot L_s}{3\theta_y}$

Akma dönmesi $\theta_y$ (TBDY 2018 Denklem 5.3):

$\theta_y = \frac{\varphi_y L_s}{3} + 0{,}0015\eta\left(1 + \frac{1{,}5h}{L_s}\right) + \frac{\varphi_y d_b f_{ye}}{8\sqrt{f_{ce}}}$

burada:

• $M_y$ = Etkin akma momentlerinin ortalaması (kNm)
• $L_s$ = Kesme açıklığı (m) — moment/kesme kuvveti oranı
• $\theta_y$ = Akma dönmesi (rad)
• $\varphi_y$ = Etkin akma eğriliği (m$^{-1}$)
• $\eta$ = Kiriş ve kolonlar için $\eta = 1$; perdeler için $\eta = 0{,}5$
• $h$ = Kesit yüksekliği (m)
• $d_b$ = Mesnete kenetlenen ortalama donatı çapı (m)
• $f_{ye}$ = Donatının ortalama (beklenen) akma dayanımı (MPa)
• $f_{ce}$ = Betonun ortalama (beklenen) basınç dayanımı (MPa)

Saha Notu: Türkiye'deki mevcut yapı değerlendirmelerinde beklenen (ortalama) malzeme dayanımları kullanılır. TBDY 2018 Madde 15.2.3'e göre beton için $f_{ce} = 1{,}3 f_{cm}$, çelik için $f_{ye} = 1{,}17 f_{yk}$ alınmaktadır.

5. Standartlar Arası Karşılaştırma

5.1 TBDY 2018 — ACI 318-19 — TS EN 1998-1 (Eurocode 8) Karşılaştırması

Tablo 5: TBDY 2018 — ACI 318-19 — TS EN 1998-1 (Eurocode 8) Karşılaştırması

Karşılaştırmalı çalışmalar (Karaalioğlu, Dok ve Öztürk, 2024), TBDY 2018 katsayılarının FIB Model Code 2010 ve Grammatikou vd. yaklaşımlarına kıyasla daha büyük rijitlik değerleri verdiğini, bunun yapı periyodunu ve yer değiştirme taleplerini olduğundan küçük tahmin edebileceğini göstermektedir.

6. TBDY 2018 Tablo 4.2 Katsayılarının Uygulanması

6.1 SAP2000 / ETABS'da Property Modifier Kullanımı

Tablo 6: SAP2000 / ETABS'da Property Modifier Kullanımı

Dikkat: Torsiyon rijitlik azaltma katsayısı TBDY 2018'de bazı kaynaklarda 0,10–0,15 olarak belirtilmektedir. Bu değerin programda uygulanmaması burulma etkisini küçümseyebilir. İdeal uygulamada tüm taşıyıcı elemanlarda tutarlı bir katsayı seti kullanılmalıdır.

6.2 Türkiye Deprem Bölgelerine Göre Uygulama Önemi

Tablo 7: Türkiye Deprem Bölgelerine Göre Uygulama Önemi

Kaynak: TBDY 2018 Tablo 3.2, Tablo 4.1; AFAD TDTH İnteraktif Web Uygulaması

7. Kesit Rijitlik Şeması

8. Etkin Rijitlik Seçim Akış Diyagramı

9. Örnek Problemler

Problem 1 — Kolay

Veriler:

• Kolon boyutu: 400 × 400 mm
• Beton sınıfı: C25
• Aksiyel yük oranı: $\nu = 0{,}20$
• Kat yüksekliği: $h_k = 3{,}0$ m

İstenen: Kolonun etkin eğilme rijitliğini $EI_{\text{eff}}$ hesaplayın.

Çözüm:

Adım 1 — Elastisite modülü (TS 500:2000 Çizelge 1, C25):

$E_c = 30.000 \text{ MPa}$

Adım 2 — Brüt atalet momenti:

$I_g = \frac{400 \times 400^3}{12} = 2{,}133 \times 10^9 \text{ mm}^4$

Adım 3 — $\kappa_{\text{eff}}$ seçimi: $\nu = 0{,}20 \geq 0{,}10$ → $\kappa_{\text{eff}} = 0{,}70$

Adım 4 — Etkin rijitlik:

$EI_{\text{eff}} = 0{,}70 \times 30.000 \times 2{,}133 \times 10^9 = 4{,}479 \times 10^{13} \text{ N\cdot mm}^2 = \mathbf{4{,}48 \times 10^4 \text{ kN\cdot m}^2}$

Kontrol: $EI_g = 30.000 \times 2{,}133 \times 10^9 = 6{,}40 \times 10^{13}$ N· mm²; $EI_{\text{eff}} / EI_g = 0{,}70$ ✓

Problem 2 — Orta

Veriler:

• 5 katlı betonarme çerçeve bina
• Kolonlar: 500 × 500 mm, C30/37; kirişler: 250 × 500 mm, C30/37
• Kat yüksekliği: $h_k = 3{,}5$ m; kat kütlesi: $m = 400$ t
• Kolon aksiyel yük oranı: $\nu = 0{,}20$; 4 kolon her katta

Çözüm:

Adım 1: $E_c$ (C30) = 32.000 MPa

Adım 2 — Kolon $I_g$:

$I_g^{\text{kolon}} = \frac{500^4}{12} = 5{,}208 \times 10^9 \text{ mm}^4$

Adım 3: $\nu = 0{,}20 \geq 0{,}10$ → $\kappa_{\text{eff}} = 0{,}70$

Adım 4 — Tek kolon etkin rijitliği:

$EI_{\text{eff}}^{\text{kolon}} = 0{,}70 \times 32.000 \times 5{,}208 \times 10^9 = 1{,}167 \times 10^{14} \text{ N\cdot mm}^2 = 1{,}167 \times 10^5 \text{ kN\cdot m}^2$

Adım 5 — Sabit-sabit kolon kat rijitliği:

$k_{\text{kolon}} = \frac{12 \times 1{,}167 \times 10^5}{3{,}5^3} = 32.654 \text{ kN/m}$

Adım 6 — 4 kolon için:

$k_{\text{kat}} = 4 \times 32.654 = 130.616 \text{ kN/m}$

Adım 7 — SDOF periyot tahmini:

$T_1^{\text{SDOF}} \approx 2\pi\sqrt{\frac{400}{130.616}} = 0{,}347 \text{ s}$

Adım 8 — Ampirik periyot karşılaştırması ($H_N = 17{,}5$ m, karma sistem $C_t = 0{,}07$):

$T_1^{\text{ampirik}} = 0{,}07 \times 17{,}5^{0{,}75} = 0{,}07 \times 8{,}70 = 0{,}609 \text{ s}$

Sonuç: SDOF yaklaşımı 0,35 s, ampirik formül 0,61 s. Fark beklenendir; çok katlı gerçek davranış için modal analiz gereklidir.

Kontrol: $T_{\text{hesap}} \leq 1{,}4 \times 0{,}609 = 0{,}85$ s ✓

Problem 3 — Zor

Veriler:

• 8 katlı betonarme çerçeve bina (Sakarya ili, ZD zemin)
• Kolon: C25, S420; 500 × 500 mm; 12Ø18 boyuna donatı
• Kesme açıklığı: $L_s = 1{,}5$ m (zemin kat)
• Etkin akma momenti: $M_y = 230$ kNm; akma eğriliği: $\varphi_y = 0{,}0040$ m$^{-1}$
• $f_{ye} = 490$ MPa; $f_{ce} = 32{,}5$ MPa; $d_b = 0{,}018$ m; $\eta = 1$

İstenen: TBDY 2018 Denklem (5.2) ve Tablo 4.2 sabit katsayı yöntemini karşılaştırın.

Çözüm:

Yöntem 1 — TBDY 2018 Madde 5.4.5 Denklem (5.2):

Adım 1 — Akma dönmesi (TBDY 2018 Denklem 5.3):

$\theta_y = \frac{0{,}0040 \times 1{,}5}{3} + 0{,}0015 \times 1 \times \left(1 + 1{,}5 \times \frac{0{,}5}{1{,}5}\right) + \frac{0{,}0040 \times 0{,}018 \times 490}{8 \times 5{,}701}$

$\theta_y = 0{,}00200 + 0{,}00225 + 0{,}000773 = 0{,}005023 \text{ rad}$

Adım 2 — Etkin rijitlik:

$EI_e = \frac{230 \times 1{,}5}{3 \times 0{,}005023} = \frac{345}{0{,}015069} = 22.893 \text{ kN\cdot m}^2$

Adım 3 — $\kappa_{\text{hesap}}$:

$EI_g = 30.000 \times 10^3 \times 5{,}208 \times 10^{-3} = 156.250 \text{ kN\cdot m}^2; \quad \kappa_{\text{hesap}} = \frac{22.893}{156.250} = 0{,}147$

Yöntem 2 — TBDY 2018 Tablo 4.2:

$EI_{\text{eff}}^{\text{Tablo 4.2}} = 0{,}70 \times 156.250 = 109.375 \text{ kN\cdot m}^2$

Tablo 8: Problem 3 — Zor

Sonuç ve Yorum: Doğrusal analiz katsayısı (0,70) ile moment-eğrilik analizine dayalı hesap (0,147) arasında yaklaşık 5 kat fark mevcuttur. Tasarım aşamasında Tablo 4.2 katsayıları TBDY 2018'e uygundur; ancak performans değerlendirmesinde Denklem (5.2) mutlaka kullanılmalıdır.

10. Sık Yapılan Hatalar

1. Tüm kolonlara $\kappa = 0{,}70$ uygulamak: Üst kat veya hafif yüklü kolonlarda $\nu < 0{,}10$ olabilir; bu durumda 0,50 kullanılmalıdır. Hata: rijitlik ~%40 fazla tahmin edilir.

2. Doğrusal analizde Tablo 4.2 katsayısını doğrusal olmayan analizde de kullanmak: Performans değerlendirmesinde TBDY 2018 Denklem (5.2) zorunludur.

3. T-kiriş modellenmesinde $I_g$ olarak dikdörtgen gövde kullanmak: Döşemeli kirişlerde etkin flanj genişliği hesaplanmalı (TS EN 1992-1-1:2009 Madde 5.3.2).

4. Perde burulma rijitliğini azaltmayı unutmak: Torsiyon (J) değeri genellikle 0,10–0,15 ile azaltılmalıdır; ihmal edilmesi burulma etkisini küçümser.

5. Birim tutarsızlığı: $E_c$ MPa (N/mm²), $I_g$ mm⁴ cinsinden girilmeli; $1 \text{ kN\cdot m}^2 = 10^6 \text{ N\cdot mm}^2$.

6. Mevcut yapı değerlendirmesinde tasarım dayanımlarını kullanmak: TBDY 2018 Bölüm 15'te beklenen (ortalama) dayanımlar kullanılır; $f_{cd}$, $f_{yd}$ değil.

Saha Notu: Türkiye'de eski yapılarda beton dayanımı genellikle C10–C16 aralığındadır. Bu durumda beklenen beton dayanımı $f_{ce}$ düşer, akma dönmesi $\theta_y$ artar ve Denklem (5.2) ile hesaplanan $\kappa_{\text{eff}}$ daha da küçük çıkar.

11. İlgili Standartlar ve Kaynaklar

Tablo 9: İlgili Standartlar ve Kaynaklar

Kaynakça

1. İlgili Türk Standartları (TS) ve Avrupa Normları (EN)
2. TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği
3. İlgili ders kitapları ve teknik kaynaklar

Not: Bu makale eğitim amaçlıdır. Projelerde güncel yönetmelik ve standartlara başvurunuz.

Kaynaklar

1. TS EN 1990:2002 — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu
2. TBDY 2018 — AFAD / T.C. Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı. https://www.resmigazete.gov.tr/eskiler/2018/03/20180318M1-2.htm
3. TS 500:2000 — TSE — Türk Standardları Enstitüsü. https://www.tse.org.tr
4. TS EN 1998-1:2007 — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu
5. TS EN 1992-1-1:2009 — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu
6. ACI 318-19 — American Concrete Institute (ACI). https://www.concrete.org
7. Yapısal Analiz.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Yük Kombinasyonu Hesaplama
• Deprem Yükü Hesaplama (TBDY 2018)

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.