Toprak Basıncı Hesabı — Rankine, Coulomb ve Mononobe-Okabe

1. Rankine Yöntemi: Yarı-sonsuz zemin kütlesi, düz duvar arka yüzü, sürtünmesiz duvar–zemin arayüzü; plastik limit denge koşullarına dayalı analitik çözüm (Rankine, 1857).
2. Coulomb Yöntemi: Kama tipi yenilme mekanizması; duvar–zemin sürtünmesini, eğik duvar arka yüzünü ve eğimli dolguyu dikkate alan yarı-grafik yaklaşım (Coulomb, 1776).
3. Mononobe-Okabe (M-O) Yöntemi: Coulomb teorisinin deprem etkilerini içerecek biçimde yarı-statik (psödo-statik) olarak geliştirilmiş versiyonu; TBDY 2018 Bölüm 10.8'de referans alınan yöntemdir (Mononobe, 1929; Okabe, 1926).

Türkiye'de birincil standart TS EN 1997-1:2012 ve TS 7994:1990'dır. Deprem hesapları için TBDY 2018 Bölüm 16.12 zorunlu referanstır.

0. Türkiye Bağlamı ve Mevzuat Çerçevesi

0.1 Geçerli Standartlar

Tablo 1: Geçerli Standartlar

Saha Notu: Türkiye'de istinat duvarı projeleri TS 7994:1990 kapsamında sınıflandırılmakta; geoteknik tasarım TS EN 1997-1:2012 Tasarım Yaklaşımı 1 (DA1) veya DA2 ile yapılmaktadır. TBDY 2018 yürürlükte olduğundan, tüm istinat yapıları için sismik analiz zorunludur.

0.2 Türkiye Zemin Koşulları

Tablo 2: Türkiye Zemin Koşulları

0.3 Don Derinliği ve Temel Derinliği

Tablo 3: Don Derinliği ve Temel Derinliği

Saha Notu: İstinat duvarı temel alt kotunun don derinliğinin altına indirilmesi zorunludur. KGM don derinliği haritası esas referanstır.

1. Sükunet Toprak Basıncı Katsayısı (K₀)

Duvarın herhangi bir yatay hareketi olmaksızın oluşan toprak basıncına sükunet toprak basıncı denir (TS EN 1997-1:2012 Madde 9.5.2).

1.1 Normal Konsolide Zemin — Jaky (1944) Formülü

$K_0 = 1 - \sin\phi'$

1.2 Aşırı Konsolide Zemin (OCR > 1)

$K_0 = (1 - \sin\phi') \cdot \mathrm{OCR}^{\sin\phi'}$

Önemli: Türkiye'de Ankara kileri gibi aşırı konsolide zeminlerde OCR = 3–9 aralığında ölçülmüştür.

1.3 Sükunet Basınç Dağılımı ve Kuvveti

$\sigma_h = K_0 \cdot \sigma'_v = K_0 \cdot \gamma \cdot z$

$P_0 = \frac{1}{2} K_0 \gamma H^2$

Uygulama noktası: H/3 tabandan.

Tablo 4: Sükunet Basınç Dağılımı ve Kuvveti

Dikkat: K₀ durumunun oluşması için duvarın hiç hareket etmemesi şarttır. Rijit bodrum duvarları ve köprü kenar ayaklarında K₀ kullanılır; serbest hareketli istinat duvarlarında Ka daha gerçekçidir.

2. Rankine Yöntemi

Rankine teorisi, yarı-sonsuz zemin kütlesinde plastik denge koşulunu esas alır; duvar yüzeyinde sürtünme sıfır kabul edilir (δ = 0). Düz duvar, yatay dolgu için en sade analitik çözümdür.

2.1 Aktif Basınç Katsayısı

Düz duvar, yatay zemin (β = 0, δ = 0):

$K_a = \tan^2\!\left(45° - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 - \sin\phi'}{1 + \sin\phi'}$

Eğimli dolgu (β = dolgu eğim açısı):

$K_a = \cos\beta \cdot \frac{\cos\beta - \sqrt{\cos^2\!\beta - \cos^2\!\phi'}}{\cos\beta + \sqrt{\cos^2\!\beta - \cos^2\!\phi'}}$

Dikkat: Eğimli dolgu koşulunda Rankine formülünün uygulanabilmesi için β ≤ φ' şartının sağlanması gerekmektedir.

2.2 Pasif Basınç Katsayısı

$K_p = \tan^2\!\left(45° + \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 + \sin\phi'}{1 - \sin\phi'}$

Tablo 5: Pasif Basınç Katsayısı

Not: Ka × Kp = 1 ilişkisi Rankine teorisinin matematiksel sonucudur.

2.3 Rankine Basınç Dağılımı

Kohezyonsuz zemin (c = 0):

$\sigma_a = K_a \cdot \gamma \cdot z$

Kohezyonlu zemin (c > 0):

$\sigma_a = K_a \cdot \gamma \cdot z - 2c\sqrt{K_a}$

Çekme bölgesi (tension crack) derinliği:

$z_c = \frac{2c}{\gamma\sqrt{K_a}}$

2.4 Toplam Aktif Kuvvet

Kohezyonsuz:

$P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2$

Uygulama noktası: H/3 tabandan.

Kohezyonlu:

$P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 - 2c\sqrt{K_a} \cdot H + \frac{2c^2}{\gamma}$

2.5 Düzgün Yayılı Sürşarj Yükü Etkisi

$\sigma_a = K_a (\gamma z + q)$

$P_a = K_a q H + \frac{1}{2} K_a \gamma H^2$

Sürşarj kısmı (K_a q H) duvar yüksekliğinin ortasında, zemin kısmı (½ K_a γ H²) H/3 noktasında etkir.

Saha Notu: Türkiye'de istinat duvarı arkasında yapılaşma durumunda q = 10–20 kPa sürşarj yükü hesaba katılması yaygın uygulamadır (TS EN 1997-1:2012 Madde 9.2).

3. Coulomb Yöntemi

Coulomb yöntemi, duvar–zemin arayüzü sürtünmesini (δ), duvar arka yüzü eğimini (α) ve dolgu eğimini (β) dikkate alır; gerçekçi saha koşullarına daha uygun sonuçlar verir.

3.1 Aktif Basınç Katsayısı

$K_a = \frac{\sin^2(\alpha + \phi')}{\sin^2\!\alpha \cdot \sin(\alpha - \delta)\!\left[1 + \sqrt{\dfrac{\sin(\phi' + \delta)\sin(\phi' - \beta)}{\sin(\alpha - \delta)\sin(\alpha + \beta)}}\right]^{\!2}}$

Tablo 6: Notasyon ve Semboller

Düz duvar, yatay dolgu (α = 90°, β = 0°):

$K_a = \frac{\cos^2\phi'}{\cos\delta\!\left[1 + \sqrt{\dfrac{\sin(\phi' + \delta)\sin\phi'}{\cos\delta}}\right]^{\!2}}$

Tablo 7: Aktif Basınç Katsayısı

3.2 Pasif Basınç Katsayısı (Coulomb)

$K_p = \frac{\sin^2(\alpha - \phi')}{\sin^2\!\alpha \cdot \sin(\alpha + \delta)\!\left[1 - \sqrt{\dfrac{\sin(\phi' + \delta)\sin(\phi' + \beta)}{\sin(\alpha + \delta)\sin(\alpha + \beta)}}\right]^{\!2}}$

Dikkat (KP-3): Coulomb pasif katsayısı yüksek δ değerlerinde (δ > φ'/2) gerçek değeri aşan sonuçlar verir; log-sarmal yöntemi (Caquot–Kerisel) veya sayısal analiz tercih edilmelidir.

3.3 Toplam Aktif Kuvvet

$P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2$

Kuvvet yönü: duvar arka yüzüyle δ açısıyla eğik.

Saha Notu: Türkiye şantiyelerinde betonarme konsol istinat duvarı tasarımında Coulomb yöntemi standart uygulama olup δ = 2φ'/3 alınması yaygındır. TS 7994:1990 Madde 5.1.2 bu değeri onaylamaktadır.

4. Mononobe-Okabe (M-O) Yöntemi — Depremli Durum

TBDY 2018 Bölüm 16.12 kapsamında tüm dayanma yapıları için deprem etkisi altında sismik toprak basıncı hesabı zorunludur. M-O yöntemi, Coulomb teorisinin psödo-statik deprem kuvvetlerini içerecek şekilde genişletilmiş biçimidir.

4.1 Dinamik Aktif Toprak Basıncı Katsayısı

$K_{ae} = \frac{\cos^2(\phi' - \theta - \alpha)}{\cos\theta \cdot \cos^2\!\alpha \cdot \cos(\delta + \alpha + \theta)\!\left[1 + \sqrt{\dfrac{\sin(\phi' + \delta)\sin(\phi' - \beta - \theta)}{\cos(\delta + \alpha + \theta)\cos(\alpha - \beta)}}\right]^{\!2}}$

Sismik açı:

$\theta = \arctan\!\left(\frac{k_h}{1 - k_v}\right)$

Tablo 8: Notasyon ve Semboller

Uygulanabilirlik koşulu:

$\phi' - \beta - \theta > 0°$

Bu koşul sağlanmazsa M-O denklemi uygulanamaz; Seed-Whitman yaklaşımı veya sayısal analiz kullanılır.

4.2 Toplam Dinamik Aktif Kuvvet

$P_{ae} = \frac{1}{2}(1 - k_v)\gamma H^2 K_{ae}$

4.3 Artı Dinamik Bileşen ve Uygulama Noktası

$\Delta P_{ae} = P_{ae} - P_a$

• P_a için uygulama noktası: H/3 tabandan
• ΔP_ae için uygulama noktası: 0,6H tabandan (Seed-Whitman, 1970)

Seed-Whitman (1970) yaklaşımı:

$\Delta P_{ae} \approx 0{,}375 \, \gamma H^2 k_h$

Saha Notu: Türkiye 1. derece deprem bölgelerinde (İstanbul, İzmir, Erzincan, Düzce) kh = 0,15–0,25 arasında yer almaktadır. Bu değerler AFAD interaktif deprem tehlike haritasından (deprem.afad.gov.tr) elde edilmelidir.

5. Yöntem Seçim Kılavuzu

Tablo 9: Yöntem Seçim Kılavuzu

6. Yeraltı Suyu ve Drenaj Etkisi

6.1 Yeraltı Suyu Etkisi

Su üstü (0 ≤ z ≤ hw):

$\sigma_a = K_a \cdot \gamma \cdot z$

Su altı (hw ≤ z ≤ H):

$\sigma_a = K_a \left[\gamma \cdot h_w + \gamma' \cdot (z - h_w)\right] + \gamma_w (z - h_w)$

Burada γ' = γ_sat – γ_w: batık birim ağırlık.

Dikkat: Drenajsız duvar arka yüzünde biriken su, hesaplanan aktif toprak basıncını 1,5–2 kat artırabilir. TS EN 1997-1:2012 Madde 9.6, drenaj sisteminin zorunlu olduğunu vurgular.

6.2 Drenaj Sistemi Gereksinimleri (TS 7994:1990 ve TS EN 1997-1:2012)

• Barbakan deliği: Ø ≥ 100 mm, düşey aralık 2–3 m, yatay aralık 2–3 m
• Drenaj tabakası: Kırma taş veya çakıl, min. 30 cm kalınlık, duvar arkasına boyuna drenaj borusu (Ø ≥ 100 mm, eğim ≥ %2)
• Filtre geotekstil: Kum/silt göçünü önlemek için drenaj tabakası ile dolgu arasına TS EN ISO 11058 kapsamında geotekstil serilmesi önerilir

Saha Notu: Türkiye şantiyelerinde en sık rastlanan hasar, barbakan deliklerinin tıkanması veya hiç yapılmamasıdır. Duvar arkasındaki su basıncı, hesapta olmayan bir yük olarak devrilme veya kayma göçmesine yol açabilir.

7. İstinat Duvarı Tipleri ve Betonarme Tasarım Esasları

7.1 TS 7994:1990'a Göre Sınıflandırma

• Ağırlık (masif) istinat duvarı: H ≤ 4–5 m, taş veya demirsiz beton; toprak itkisini kendi ağırlığıyla karşılar
• Konsol betonarme istinat duvarı: H = 4–8 m, L kesitli; ekonomik çözüm
• Payandalı betonarme istinat duvarı: H ≥ 8 m; payandalar yanal momentleri azaltır
• Toprakarme / Gabion: Esnek sistemler; geçirgen ve sismik yükler için elverişli

7.2 Ön Boyutlandırma (TS 7994:1990)

Tablo 10: Ön Boyutlandırma (TS 7994:1990)

7.3 Stabilite Kontrolleri

Tablo 11: Stabilite Kontrolleri

Kayma kontrolü:

$N_s = \frac{\mu \cdot \sum V + P_p}{P_{ah}} \geq 1{,}5 \quad \text{(Statik)}$

Devrilme kontrolü:

$N_d = \frac{\sum M_{\text{karşı}}}{\sum M_{\text{devirici}}} \geq 2{,}0 \quad \text{(Statik)}$

7.4 Betonarme Tasarım Esasları (TS 500:2000 Madde 12)

• Duvar min. kalınlığı: 150 mm
• Min. donatı oranı: her iki yüzde ρ ≥ 0,0015 (hem düşey hem yatay)
• Donatı aralığı: ≤ min(1,5 × t_duvar, 300 mm)
• Beton sınıfı: C25/30 minimum (agresif zemin veya deniz ortamı: C30/37)
• Çelik sınıfı: S420 (B420C)
• Pas payı: zemine temas eden yüzler için 50 mm

Saha Notu: Dilatasyon derzi: TS 7994:1990'a göre istinat duvarları 8–20 m aralıkta dilatasyon derziyle bölünmelidir.

8. Teknik Kesit

9. Yönetmelik Referansları

Tablo 12: Yönetmelik Referansları

10. CAD Referans Kesiti

11. Örnek Problemler

Problem 1 — Kolay: Rankine Aktif Kuvveti (Kohezyonsuz Zemin)

Veriler:

• Duvar yüksekliği: H = 4,0 m
• İçsel sürtünme açısı: φ' = 30°
• Birim hacim ağırlığı: γ = 18 kN/m³
• Kohezyon: c' = 0 (kohezyonsuz zemin)
• Yatay dolgu (β = 0°), düşey duvar (α = 90°)

İstenen: Toplam aktif kuvvet ve uygulama noktası.

Çözüm:

Adım 1 — Aktif katsayı (TS EN 1997-1:2012 Ek C):

$K_a = \tan^2\!\left(45° - \frac{30°}{2}\right) = \tan^2(30°) = 0{,}333$

Adım 2 — Taban basıncı:

$\sigma_a(H) = K_a \cdot \gamma \cdot H = 0{,}333 \times 18 \times 4{,}0 = 24{,}0 \text{ kN/m}^2$

Adım 3 — Toplam aktif kuvvet:

$P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}333 \times 18 \times 16 = 47{,}95 \text{ kN/m}$

Sonuç: Pa = 48,0 kN/m, uygulama noktası H/3 = 4,0/3 = 1,33 m tabandan.

Kontrol: φ' = 30° → Ka = 1/3 (teorik değer 0,333 ile uyumlu).

Problem 2 — Orta: Coulomb Aktif Kuvveti (Sürtünmeli Duvar)

Veriler:

• Duvar yüksekliği: H = 5,0 m
• Zemin: φ' = 32°, c' = 0, γ = 18 kN/m³
• Yatay dolgu (β = 0°), düşey duvar (α = 90°)
• Duvar–zemin sürtünmesi: δ = 2φ'/3 = 21°
• Sürşarj yükü: q = 10 kPa

İstenen: Toplam Coulomb aktif kuvveti.

Çözüm:

Adım 1 — Coulomb Ka (düz duvar, yatay dolgu):

$K_a^C = \frac{\cos^2\phi'}{\cos\delta\!\left[1 + \sqrt{\dfrac{\sin(\phi'+\delta)\sin\phi'}{\cos\delta}}\right]^{\!2}} = \frac{0{,}718}{0{,}934 \times [1 + 0{,}673]^2} = \frac{0{,}718}{2{,}615} = 0{,}275$

Adım 2 — Zemin baskısından kuvvet:

$P_{a,\text{zemin}} = \frac{1}{2} \times 0{,}275 \times 18 \times 25 = 61{,}9 \text{ kN/m}$

Adım 3 — Sürşarj katkısı:

$P_{a,q} = K_a^C \times q \times H = 0{,}275 \times 10 \times 5 = 13{,}75 \text{ kN/m}$

Adım 4 — Toplam aktif kuvvet:

$P_a^{\text{Coulomb}} = 61{,}9 + 13{,}75 = 75{,}7 \text{ kN/m}$

Sonuç: Pa = 75,7 kN/m (zemin kısmı H/3 = 1,67 m'de, sürşarj kısmı H/2 = 2,5 m'de)

Kontrol: Rankine yöntemi aynı zemin için Ka = 0,307 → Pa = 69,1 kN/m verir. Coulomb yönteminde δ > 0 nedeniyle Ka < Rankine Ka olduğu için küçük fark beklenen bir sonuçtur.

Problem 3 — Zor: Mononobe-Okabe Sismik Analizi (TBDY 2018)

Veriler:

• Duvar yüksekliği: H = 5,0 m
• Zemin: φ' = 32°, c' = 0, γ = 18 kN/m³
• Yatay dolgu (β = 0°), düşey duvar (α = 90°), δ = 16°
• Deprem: TBDY 2018 DTS=1a, ZB zemin sınıfı → SDS = 0,981 → kh = 0,15 (indirgeme ile)
• kv = 0,5 × kh = 0,075

İstenen: Toplam sismik aktif kuvvet, artı dinamik bileşen ve yük grubu momenti.

Çözüm:

Adım 1 — Sismik açı:

$\theta = \arctan\!\left(\frac{k_h}{1 - k_v}\right) = \arctan\!\left(\frac{0{,}15}{0{,}925}\right) = \arctan(0{,}162) = 9{,}2°$

Adım 2 — Uygulanabilirlik kontrolü:

$\phi' - \beta - \theta = 32° - 0° - 9{,}2° = 22{,}8° > 0° \quad \text{(M-O uygulanabilir)}$

Adım 3 — M-O katsayısı hesabı (tam formül ile):

$K_{ae} \approx 0{,}386$

Adım 4 — Toplam dinamik aktif kuvvet:

$P_{ae} = \frac{1}{2}(1 - k_v)\gamma H^2 K_{ae} = \frac{1}{2} \times 0{,}925 \times 18 \times 25 \times 0{,}386 = 80{,}6 \text{ kN/m}$

Adım 5 — Statik aktif kuvvet (Coulomb, δ=16°):

$P_a^{\text{Coulomb}} = \frac{1}{2} \times 0{,}277 \times 18 \times 25 = 62{,}3 \text{ kN/m}$

Adım 6 — Artı dinamik bileşen:

$\Delta P_{ae} = P_{ae} - P_a = 80{,}6 - 62{,}3 = 18{,}3 \text{ kN/m}$

Kontrol — Seed-Whitman yaklaşımı:

$\Delta P_{ae}^{SW} \approx 0{,}375 \times 18 \times 25 \times 0{,}15 = 25{,}3 \text{ kN/m} \quad \text{(Muhafazakar tahmin)}$

Adım 7 — Devrilme momenti:

$M_d = P_a \times \frac{H}{3} + \Delta P_{ae} \times 0{,}6H = 62{,}3 \times 1{,}67 + 18{,}3 \times 3{,}0 = 104{,}0 + 54{,}9 = 158{,}9 \text{ kN\cdot m/m}$

Sonuç:

• Pae = 80,6 kN/m (toplam sismik aktif kuvvet)
• ΔPae = 18,3 kN/m (artı dinamik bileşen; 0,6H = 3,0 m'de etkir)
• Devrilme momenti = 158,9 kN·m/m

Kontrol: Pae / Pa = 80,6 / 62,3 = 1,29 → Sismik yük statik yükü %29 artırmıştır (1. derece deprem bölgesinde beklenen %20–40 aralığında).

12. Kritik Noktalar

KP-1: Rankine yöntemi duvar–zemin sürtünmesini ihmal eder; δ > 0 için Coulomb daha az muhafazakâr (daha küçük Ka) sonuç verir. Rankine, kohezyonlu zemin analizinde daha doğrudandır.

KP-2: M-O yöntemi φ' − β − θ = 0° olduğunda tekil sonuç verir; yüksek depremsellik bölgelerinde (kh > 0,3) Seed-Whitman yaklaşımı veya sonlu elemanlar kullanılmalıdır.

KP-3: Coulomb pasif katsayısı yüksek δ değerlerinde (δ > φ'/2) güvensiz sonuç verir; kazı destek hesaplarında log-sarmal veya Kerisel-Caquot (1948) tablosu tercih edilir.

KP-4: Dinamik hesaplarda uzun vadeli zemin dayanımı için c = 0 kabulü daha güvenli bir yaklaşımdır; kohezyon artığı deprem etkisi altında hızla kaybolabilir.

KP-5: Yeraltı su tablası yüksekliği doğru belirlenmezse hesap değerleri ciddi ölçüde hatalı olabilir. Mevsimsel YASS değişimleri kaydedilmelidir (TS EN 1997-2:2012).

KP-6: TBDY 2018 kapsamında DTS = 1, 1a, 2 veya 2a olan istinat yapıları için mutlaka dinamik analiz (M-O veya sayısal) yapılmalı; depremli stabilite katsayıları TS 7994:1990 Madde 7.2 ile birlikte kontrol edilmelidir.

13. Sık Yapılan Hatalar

Tablo 13: Sık Yapılan Hatalar

Kaynaklar

1. TS EN 1997-1:2012 — Eurocode 7: Geoteknik Tasarım, Bölüm 1: Genel Kurallar, Madde 9 ve Ek C. TSE, Ankara.
2. TS 7994:1990 — Zemin Dayanma Yapıları; Sınıflandırma, Özellikleri ve Projelendirme Esasları. TSE, Ankara.
3. TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği, Madde 10.8 ve Bölüm 16.12. AFAD, Ankara.
4. TS 500:2000 — Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları, Madde 12. TSE, Ankara.
5. Rankine, W.J.M. (1857). On the stability of loose earth. Phil. Trans. Royal Society of London, 147, 9–27.
6. Coulomb, C.A. (1776). Essai sur une application des règles de maximis et minimis. Mémoires de Math. et de Phys. Présentés à l'Académie Royale des Sciences, 7, 343–382.
7. Mononobe, N. (1929). Earthquake-proof construction of masonry dams. Proceedings, World Engineering Conference, Vol. 9.
8. Seed, H.B. & Whitman, R.V. (1970). Design of earth retaining structures for dynamic loads. ASCE, Lateral Stresses in the Ground, 103–147.
9. Das, B.M. (2021). Principles of Foundation Engineering. 9th ed., Cengage Learning.
10. Dalyan, İ., Akın, M.S. ve Akbay Arama, Z. (2020). Betonarme İstinat Duvarlarının Geoteknik Tasarımında Etkili Parametrelerin 2018 TBDY'ye Göre Değerlendirilmesi. Türk Deprem Araştırma Dergisi, Cilt 2, s. 176–192.
11. Çinicioğlu, Ö. (2016). Toprak Basınçları ve Dayanma Yapıları, Boğaziçi Üniversitesi Ders Notları.
12. TS EN 1997-2:2012 — Eurocode 7: Geoteknik Tasarım, Bölüm 2: Zemin Araştırması ve Deneyleri. TSE, Ankara.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Temel Boyutlandırma Hesaplama
• Zemin Taşıma Gücü Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.