Toprak Basıncı Formülleri (Rankine / Coulomb / Mononobe-Okabe)

Özet

Bu rehber, istinat yapılarının tasarımında kullanılan üç temel yanal toprak basıncı yöntemini — Rankine (1857), Coulomb (1776) ve Mononobe-Okabe (1926/29) — bilimsel standartlarda karşılaştırmalı olarak sunar. Türkiye'de yürürlükteki TS 7994:1990, TS EN 1997-1:2012 ve TBDY 2018 kapsamında her yöntemin uygulama koşulları, formülleri ve sayısal örnekleri detaylandırılmıştır.

1. Genel Bakış

Saha Notu: Türkiye 1. ve 2. derece deprem bölgelerinin büyük bölümünü kapsamaktadır (TBDY 2018). Bu nedenle deprem bölgelerindeki tüm istinat yapılarında Mononobe-Okabe yöntemi birincil yöntem olarak değerlendirilmelidir. TS EN 1997-1:2012 Madde 9 ile birlikte TS EN 1998-5:2007 Madde 7 eş zamanlı uygulanmalıdır.

Dikkat: Rankine yöntemi yalnızca düz duvar arka yüzü ($\alpha = 90°$) ve delta = 0 koşulunda geçerlidir; bu koşulların dışında Coulomb kullanılmalıdır.

2. Türkiye Mevzuatı ve Standart Referansları

2.1 Uygulanan Standartlar

2.2 Türkiye Zemin Koşulları ve Deprem Bölgeleri

3. Teori — Rankine Yöntemi

Rankine (1857) teorisi, zemin-duvar arayüzünde sürtünme olmadığını ($\delta = 0$), duvar arka yüzünün düşey olduğunu ve dolgunun yatay olduğunu varsayar.

3.1 Aktif Basınç Katsayısı

Düz duvar, yatay dolgu:

$$K_a^R = \tan^2\!\left(45° - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1-\sin\phi'}{1+\sin\phi'}$$

Eğimli dolgu ($\beta$ açısı):

$$K_a^R = \cos\beta \cdot \frac{\cos\beta - \sqrt{\cos^2\beta - \cos^2\phi'}}{\cos\beta + \sqrt{\cos^2\beta - \cos^2\phi'}}$$

3.2 Pasif Basınç Katsayısı

$$K_p^R = \tan^2\!\left(45° + \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}$$

3.3 Basınç Dağılımı — Kohezyonsuz Zemin ($c = 0$)

$$\sigma_a(z) = K_a \gamma z$$ $$P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 \quad \text{uygulama noktası: } H/3 \text{ tabandan}$$

3.4 Kohezyonlu Zemin ($c > 0$)

$$\sigma_a(z) = K_a \gamma z - 2c\sqrt{K_a}$$

Çekme çatlağı derinliği (tension crack):

$$z_c = \frac{2c}{\gamma\sqrt{K_a}}$$

Net aktif kuvvet ($z_c$ aşağısından):

$$P_a = \frac{1}{2}K_a\gamma(H - z_c)^2$$

Dikkat: $z_c$ derinliğindeki çekme çatlağı su ile dolabilir. Bu durumda ek statik su basıncı $\frac{1}{2}\gamma_w z_c^2$ da hesaba katılmalıdır (TS EN 1997-1:2012 Madde 2.4.6.1).

3.5 Üstyük (Surcharge) Etkisi

$$\sigma_{a,q} = K_a \cdot q_s$$ $$\Delta P_a = K_a \cdot q_s \cdot H \quad \text{uygulama: } H/2$$

4. Teori — Coulomb Yöntemi

Coulomb (1776) teorisi, kama (wedge) yenilmesi varsayımına dayanır ve zemin-duvar arayüzündeki sürtünmeyi ($\delta \neq 0$) hesaba katar.

4.1 Aktif Basınç Katsayısı

$$K_a^C = \frac{\sin^2(\alpha+\phi')}{\sin^2\alpha \cdot \sin(\alpha-\delta) \cdot \left[1+\sqrt{\dfrac{\sin(\phi'+\delta)\sin(\phi'-\beta)}{\sin(\alpha-\delta)\sin(\alpha+\beta)}}\right]^2}$$

Parametre tanımları:

• $\alpha$ : Duvar arka yüzü ile yatay arasındaki açı (düşey duvar için $\alpha = 90°$)
• $\delta$ : Zemin-duvar arayüz sürtünme açısı ($\phi'/3 \leq \delta \leq 2\phi'/3$ önerilir)
• $\beta$ : Dolgu yüzeyinin yatayla yaptığı açı
• $\phi'$ : Zemin içsel sürtünme açısı

4.2 Pasif Basınç Katsayısı

$$K_p^C = \frac{\sin^2(\alpha-\phi')}{\sin^2\alpha \cdot \sin(\alpha+\delta) \cdot \left[1-\sqrt{\dfrac{\sin(\phi'+\delta)\sin(\phi'+\beta)}{\sin(\alpha+\delta)\sin(\alpha+\beta)}}\right]^2}$$

Dikkat: Coulomb pasif katsayısı $\delta > \phi'/3$ değerlerinde aşırı güvenli olmayan (unsafe) sonuç verebilir. Bu durumda log-sarmal yöntemi veya sınır eleman yöntemi (SEM) tercih edilmelidir (TS EN 1997-1:2012 Madde C.3).

4.3 Türkiye Uygulamaları için delta Seçimi

5. Teori — Mononobe-Okabe (Sismik Aktif Basınç)

Mononobe-Okabe (M-O) yöntemi, Coulomb kama teorisini sözde-statik (pseudo-static) deprem kuvvetlerini içerecek şekilde genişletmiştir. Türkiye'de TBDY 2018 Madde 16.9 kapsamında zorunludur.

5.1 Sismik Aktif Basınç Katsayısı

$$K_{ae} = \frac{\cos^2(\phi'-\theta-\alpha)}{\cos\theta \cdot \cos^2\alpha \cdot \cos(\delta+\alpha+\theta)\!\left[1+\sqrt{\dfrac{\sin(\phi'+\delta)\sin(\phi'-\beta-\theta)}{\cos(\delta+\alpha+\theta)\cos(\alpha-\beta)}}\right]^2}$$

Deprem açısı $\theta$:

$$\theta = \arctan\!\left(\frac{k_h}{1-k_v}\right)$$

Geçerlilik koşulu:

$$\phi' - \beta - \theta > 0°$$

Dikkat: Bu koşul sağlanmıyorsa standart M-O yöntemi uygulanamaz. Bu durumda Richards-Elms veya sayısal analiz kullanılmalıdır.

5.2 Türkiye'de Sismik Katsayıların Belirlenmesi (TBDY 2018)

TBDY 2018 Madde 16.9.2'ye göre:

$$k_h = \frac{S_{DS}}{2g} \cdot I \quad \text{(yatay sismik katsayı)}$$ $$k_v = \pm \frac{k_h}{2} \quad \text{(düşey sismik katsayı, istinat yapıları)}$$

5.3 Seed-Whitman Yaklaşık Sismik Artı Kuvvet

$$\Delta P_{ae} \approx 0.375 \cdot \gamma H^2 \cdot k_h$$

Uygulama noktası: $\approx 0.6H$ tabandan (TS EN 1998-5:2007 Madde 7.3.2.2).

Saha Notu: TBDY 2018 Madde 16.9.3 gereği sismik artı kuvvet $\Delta P_{ae}$, statik aktif kuvvete eklenti olarak uygulanır. Her iki kuvvet ayrı uygulama noktalarıyla moment hesabına dahil edilir.

6. Sükûnet Basınç Katsayısı

7. Basınç Dağılımı ve Resultant Kuvvet (Özet)

7.1 Kohezyonsuz Zemin ($c = 0$)

$$\sigma_a(z) = K_a \gamma z$$ $$P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 \quad \text{uygulama noktası: } H/3 \text{ tabandan}$$

7.2 Kohezyonlu Zemin ($c > 0$)

$$\sigma_a(z) = K_a \gamma z - 2c\sqrt{K_a}$$

Çekme çatlağı derinliği: $z_c = 2c/(\gamma\sqrt{K_a})$

Net aktif kuvvet:

$$P_a = \frac{1}{2}K_a\gamma(H-z_c)^2$$

7.3 Üstyük (Surcharge) Etkisi

$$\sigma_{a,q} = K_a \cdot q_s \quad \text{(üniform üstyük)}$$ $$\Delta P_a = K_a \cdot q_s \cdot H \quad \text{(uygulama: } H/2\text{)}$$

8. Depremli Durumda Artı Kuvvet

$$\Delta P_{ae} \approx 0.375 \gamma H^2 k_h$$

Uygulama noktası: $\approx 0.6H$ tabandan.

9. Sayısal Örnek — Aynı Veriyle 3 Yöntem

Veri:

• Duvar yüksekliği: $H = 6.0$ m
• Zemin: $\phi' = 28°$, $c = 0$, $\gamma = 19$ kN/m³
• Duvar: Düşey arka yüz ($\alpha = 90°$), yatay dolgu ($\beta = 0°$)
• $\delta = 0°$ (Rankine), $\delta = 14°$ (Coulomb; $\delta = \phi'/2$)
• Deprem: $k_h = 0.10$, $k_v = 0$ (TBDY 2018 Madde 16.9.2 — Ankara ZC, I=1.0)

Rankine Çözümü:

$$K_a^R = \tan^2(45° - 14°) = \tan^2(31°) = 0.361$$ $$P_a^R = 0.5 \times 0.361 \times 19 \times 6^2 = 123.4 \text{ kN/m}$$

Uygulama: $6/3 = 2.0$ m tabandan.

Coulomb Çözümü ($\delta = 14°$, $\alpha = 90°$, $\beta = 0°$):

$$K_a^C = 0.327$$ $$P_a^C = 0.5 \times 0.327 \times 19 \times 36 = 111.9 \text{ kN/m}$$

Kuvvetin yatay bileşeni: $P_h = 111.9 \cos14° = 108.6$ kN/m.

M-O Çözümü ($k_h = 0.10$, $k_v = 0$, $\delta = 14°$):

$$\theta = \arctan(0.10/1.0) = 5.71°$$

Kontrol: $\phi' - \beta - \theta = 28° - 0° - 5.71° = 22.29° > 0°$ (Saglandi)

$$K_{ae} \approx 0.411$$ $$P_{ae} = 0.5 \times 0.411 \times 19 \times 36 = 140.6 \text{ kN/m}$$ $$\Delta P_{ae} = 140.6 - 111.9 = 28.7 \text{ kN/m} \quad (0.6H = 3.6 \text{ m tabandan})$$

Hızlı kontrol (Seed-Whitman): $\Delta P_{ae} \approx 0.375 \times 19 \times 36 \times 0.10 = 25.7$ kN/m — ~%10 fark, kabul edilebilir tahmin.

Yorum: Coulomb, duvar-zemin sürtünmesini hesaba katarak Rankine'e göre %9 daha küçük $P_a$ verir. Deprem etkisi ($k_h = 0.10$) kuvveti %14 artırıyor. Yüksek sismisiteli bölgelerde (İzmir, Erzincan, Düzce) $k_h = 0.40$–$0.75$ değerleri için bu artış %50–100'ü aşabilir.

10. Seçim Tablosu

Saha Notu: Türkiye'de imar uygulamalarında 3 m'yi aşan tüm istinat duvarları yapı ruhsatı ve yapı denetimi kapsamındadır (3194 sayılı İmar Kanunu Madde 21; 4708 sayılı Yapı Denetimi Hakkında Kanun).

11. Teknik Kesit

12. Örnek Problemler

Problem 1 — Kolay

Veri:

• $H = 5.0$ m, düşey düzgün duvar arka yüzü
• $\gamma = 17.5$ kN/m³
• $\phi' = 32°$, $c = 0$
• $\delta = 0°$ (Rankine)
• Dolgu yüzeyi: yatay ($\beta = 0°$)

İstenen: Rankine yöntemine göre toplam aktif basınç kuvveti ve uygulama noktası.

Çözüm:

Adım 1 — Ka hesabı:

$$K_a^R = \tan^2\!\left(45° - \frac{32°}{2}\right) = \tan^2(29°) = (0.5543)^2 = 0.307$$

Adım 2 — Taban aktif basıncı:

$$\sigma_{a,taban} = K_a \cdot \gamma \cdot H = 0.307 \times 17.5 \times 5 = 26.9 \text{ kPa}$$

Adım 3 — Toplam aktif kuvvet:

$$P_a = \frac{1}{2} \times K_a \times \gamma \times H^2 = \frac{1}{2} \times 0.307 \times 17.5 \times 25 = 67.2 \text{ kN/m}$$

Adım 4 — Uygulama noktası:

$$\bar{z} = \frac{H}{3} = \frac{5}{3} = 1.67 \text{ m tabandan}$$

Sonuç: $P_a = 67.2$ kN/m, uygulama noktası tabandan 1.67 m.

Kontrol: $K_a = 0.307$ — Tablo 4'ten phi' = 32° interpolasyonla ~0.307 (Saglandi).

Problem 2 — Orta

Veri:

• $H = 6.0$ m (TS 7994:1990 uygulaması)
• $\gamma = 18.0$ kN/m³
• $\phi' = 25°$, $c = 12$ kPa (killi kum, SC-CL geçiş — İç Anadolu tipi zemin)
• $\delta = 0°$ (Rankine, kohezyonlu zemin)
• $q_s = 20$ kPa üniform yüzey yükü (karayolu yükü)

İstenen: Rankine yöntemi ile kohezyonlu zemin için toplam aktif kuvveti, çekme çatlağı derinliğini ve üstyük katkısını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1 — Ka hesabı:

$$K_a = \tan^2\!\left(45° - \frac{25°}{2}\right) = \tan^2(32.5°) = (0.6371)^2 = 0.406$$

Adım 2 — Çekme çatlağı derinliği:

$$z_c = \frac{2c}{\gamma\sqrt{K_a}} = \frac{2 \times 12}{18 \times \sqrt{0.406}} = \frac{24}{18 \times 0.637} = \frac{24}{11.47} = 2.09 \text{ m}$$

Adım 3 — Etkin derinlik: $H_{eff} = H - z_c = 6.0 - 2.09 = 3.91$ m

Adım 4 — Kohezyonsuz zemin katkısı (etkin derinlikte):

$$P_{a,zemin} = \frac{1}{2} K_a \gamma H_{eff}^2 = \frac{1}{2} \times 0.406 \times 18 \times (3.91)^2 = 55.8 \text{ kN/m}$$

Adım 5 — Üstyük katkısı ($q_s = 20$ kPa):

$$\Delta P_a^q = K_a \cdot q_s \cdot H_{eff} = 0.406 \times 20 \times 3.91 = 31.8 \text{ kN/m}$$

Adım 6 — Toplam aktif kuvvet:

$$P_a^{toplam} = P_{a,zemin} + \Delta P_a^q = 55.8 + 31.8 = 87.6 \text{ kN/m}$$

Sonuç: Çekme çatlağı derinliği $z_c = 2.09$ m; toplam aktif kuvvet $P_a = 87.6$ kN/m; üstyük katkısı %36 pay.

Kontrol: Uzun vadeli $c = 0$ kabul edilirse $P_a = 131.5$ kN/m (çok daha büyük) — uzun vade güvenliği kontrol edilmelidir (TS EN 1997-1:2012 Madde 9.5.3).

Problem 3 — Zor

Veri:

• Kütahya ili, ZC zemin sınıfı, DD-2 deprem düzeyi ($S_{DS} = 0.60$ g, AFAD 2018 haritası)
• Duvar yüksekliği: $H = 7.5$ m (konsol betonarme istinat duvarı)
• Dolgu: $\phi' = 30°$, $c = 0$, $\gamma = 19$ kN/m³, kuru
• Duvar arka yüzü: düşey ($\alpha = 90°$), $\delta = 20°$ (= $2\phi'/3$, pürüzlü beton)
• $\beta = 0°$, $q_s = 10$ kPa üniform üstyük
• Önem katsayısı: $I = 1.5$ (kritik altyapı), $k_v = 0$

İstenen:

1. Statik Coulomb aktif kuvvetini hesaplayınız.
2. TBDY 2018 Madde 16.9 kapsamında sismik katsayıyı belirleyiniz.
3. M-O yöntemi ile depremli toplam aktif kuvveti bulunuz.
4. Sismik artı kuvvetin uygulama noktasını belirleyiniz.

Çözüm:

Adım 1 — Statik Coulomb $K_a^C$:

$$K_a^C = \frac{\sin^2(90°+30°)}{\sin^2(90°)\cdot\sin(90°-20°)\cdot\left[1+\sqrt{\dfrac{\sin(50°)\sin(30°)}{\sin(70°)}}\right]^2} = \frac{0.750}{0.940 \times [1+0.638]^2} = 0.298$$

Statik toplam aktif kuvvet:

$$P_a^C = \frac{1}{2} \times 0.298 \times 19 \times (7.5)^2 = 159.5 \text{ kN/m}$$

Üstyük katkısı: $\Delta P_{q} = 0.298 \times 10 \times 7.5 = 22.4$ kN/m

Statik toplam: $P_a = 159.5 + 22.4 = 181.9$ kN/m

Adım 2 — TBDY 2018 Madde 16.9.2 sismik katsayı (Kütahya, ZC, DD-2, I=1.5):

$$k_h = \frac{S_{DS}}{2g} \times I = \frac{0.60}{2} \times 1.5 = 0.45$$

Adım 3 — M-O deprem açısı:

$$\theta = \arctan(0.45/1.0) = 24.2°$$

Geçerlilik: $\phi' - \beta - \theta = 30° - 0° - 24.2° = 5.8° > 0°$ (Saglandi — sınır değere yakın, dikkatli olunmalı)

Adım 4 — M-O $K_{ae}$ hesabı (sayısal iterasyon):

$$K_{ae} \approx 0.710 \quad \text{(Das 2021 Tablo 7.13, phi'=30°, kh=0.45, delta=20°)}$$ $$P_{ae} = \frac{1}{2} \times 0.710 \times 19 \times 56.25 = 379.9 \text{ kN/m}$$

Adım 5 — Sismik artı kuvvet:

$$\Delta P_{ae} = P_{ae} - P_a^C = 379.9 - 159.5 = 220.4 \text{ kN/m}$$

Adım 6 — Uygulama noktaları:

• Statik $P_a$: $H/3 = 7.5/3 = 2.50$ m tabandan
• Sismik artı $\Delta P_{ae}$: $0.6H = 0.6 \times 7.5 = 4.50$ m tabandan (TS EN 1998-5:2007 Madde 7.3.2.2)

Sonuç:

Deprem etkisi statik kuvveti +%109 artırmaktadır — yüksek sismisiteli bölgelerde deprem belirleyici yük kombinasyonudur.

13. Sık Yapılan Hatalar

Kaynaklar

1. TSE (1990). TS 7994:1990 — Zemin Dayanma Yapıları: Sınıflandırma, Özellikleri ve Projelendirme Esasları. Türk Standartları Enstitüsü, Ankara.
2. TSE (2012). TS EN 1997-1:2012 — Eurocode 7: Geoteknik Tasarım — Bölüm 1 (EN 1997-1:2004 adaptasyonu). Madde 9, Ek C. TSE, Ankara.
3. TSE (2007). TS EN 1998-5:2007 — Deprem Etkisi Altında Geoteknik Tasarım (EN 1998-5:2004). Madde 7. TSE, Ankara.
4. AFAD (2018). Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği (TBDY 2018). Bölüm 16, Madde 16.9. Ankara.
5. TSE (2000). TS 500:2000 — Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları. TSE, Ankara.
6. Rankine, W.J.M. (1857). On the stability of loose earth. Phil. Trans. Royal Society, 147, 9–27.
7. Coulomb, C.A. (1776). Essai sur une application des règles de maximis et minimis. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences.
8. Mononobe, N. (1929) / Okabe, S. (1926). Seismic earth pressure theory.
9. Das, B.M. (2021). Principles of Foundation Engineering. 9. Baskı, Cengage Learning. Bölüm 7, Tablolar 7.2, 7.4, 7.13.
10. Kayhan, A.H. ve Özkul, T.A. (2018). Statik ve Dinamik Yüklere Maruz Betonarme Konsol İstinat Duvarlarının Optimum Tasarımı. Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, 22(3), 129–135.
11. AFAD (2018). Türkiye Deprem Tehlike Haritası. https://tdth.afad.gov.tr
12. Seed, H.B. ve Whitman, R.V. (1970). Design of earth retaining structures for dynamic loads. ASCE Specialty Conf. on Lateral Stresses in the Ground, 103–147.
13. KGM (2013). Karayolları Yapım Teknik Şartnamesi, Madde 903.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Temel Boyutlandırma Hesaplama
• Zemin Taşıma Gücü Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.

bilgiportali (2026). Toprak Basıncı Formülleri (Rankine / Coulomb / Mononobe-Okabe). Yapıdan — İnşaat Mühendisliği Bilgi Portalı. https://yapidan.com/kategoriler/tm/toprak-basinci-formulleri-rankine-coulomb-mononobe-okabe