Öngerilmeli Kiriş Eğilme ve Kesme Hesabı

Özet

Öngerilmeli kirişler, yüksek dayanımlı çelik tendon veya strand vasıtasıyla betona önceden sıkışma gerilmesi uygulanarak çekme gerilmelerini azaltan veya ortadan kaldıran yapısal elemanlardır. Bu makalede kirişin tasarımı; transfer, servis yükü ve nihai dayanım olmak üzere üç aşamada standart yaklaşımları çerçevesinde incelenmektedir. Türkiye'de prefabrik öngerilmeli kirişler başta sanayi yapıları, köprüler ve viyadükler olmak üzere geniş açıklıklı yapılarda yaygın olarak kullanılmaktadır. Uygulamada tipik malzeme sınıfları genel olarak C40/50–C50/60 beton ile Y1860 düşük relaksasyonlu strand'tır.

0. Türkiye Mevzuatı ve Standart Çerçevesi

Saha Notu: Türkiye'deki prefabrik üreticilerinin büyük çoğunluğu TS 3233:1979 ile TS EN 1992-1-1 ve ACI 318'i birlikte kullanmaktadır. Birçok hesap programı bu standartların birlikte uygulanmasına olanak tanımaktadır.

0.1 Türkiye'de Yaygın Malzeme Sınıfları

Dikkat: TBDY 2018'de öngerilmeli beton elemanlar için özel bir minimum beton sınıfı tanımlanmamış olup, pratikte C40/50 veya üstü sınıflar tercih edilmektedir.

1. Tasarım Aşamaları

Öngerilmeli kirişin tasarımı üç kritik aşamada incelenir:

1. Transfer (Aktarma) Aşaması: Öngerilme kuvveti betona ilk aktarıldığı an. Yalnızca öngerilme + öz ağırlık. Beton henüz tam dayanımına ulaşmamıştır ($f_{ci}$ kullanılır).
2. Servis Yükü Aşaması: Tüm yükler etkide; tüm kayıplar gerçekleşmiş. Gerilme limitleri kontrol edilir.
3. Nihai Dayanım Aşaması: Kesitin eğilme ve kesme dayanımı hesabı.

2. Eğilme Dayanımı Hesabı

2.1 Tasarım Varsayımları

TS EN 1992-1-1 ve ACI 318-19 uyarınca:

• Beton maksimum sıkışma birim şekil değiştirmesi genellikle: ${\epsilon }_{cu}=0,003$ (ACI 318 yaklaşımı) / ${\epsilon }_{cu2}=0,0035$ (EC2 yaklaşımı)
• Betonun çekme dayanımı ihmal edilir.
• Gerilmeler ve şekil değiştirmeler nötr eksenden doğrusal değişir (Bernoulli–Navier hipotezi).
• Basınç bölgesinde eşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu: $0,85f_c^{\prime }$ veya ${\alpha }_{cc}{f}_{ck}/{\gamma }_c$, derinlik $a={\beta }_{1}c$.

Bu formüldeki sembollerBu formülde geçen işaretler7 sembol · göster/gizle

a

Eşdeğer beton basınç bloğu derinliği

mm

Dikdörtgen betonarme kesit eğilme hesabında kullanılır.

c

Kohezyon veya beton basınç bölgesi tarafsız eksen parametresi

kPa, mm

Geoteknikte zemin kohezyonu; betonarmede kesit geometrisi bağlamında okunur.

f_ck

Beton karakteristik silindir basınç dayanımı

MPa, N/mm²

Beton sınıfını tanımlayan temel dayanım değeridir.

γ_c

Beton malzeme güvenlik katsayısı

Boyutsuz

Tasarım beton dayanımı hesabında kullanılır.

β₁

Eşdeğer dikdörtgen basınç bloğu katsayısı

Boyutsuz

Beton sınıfına ve kullanılan standarda göre değişebilir.

f

Frekans, sürtünme katsayısı veya dayanım sembolü

Hz, Boyutsuz, MPa

Alt indis anlamı belirler.

ε_cu

Beton nihai basınç birim şekil değiştirmesi

Boyutsuz

Kesit taşıma gücü hesabındaki sınır şekil değiştirmedir.

$${\beta }_1=0,85-0,05\cdot \frac{f_c^{\prime }-28}{7}\text{(28 MPa}<f_c^{\prime }\le \text{56 MPa)}$$

TS EN 1992-1-1 karşılığı: $\lambda =0,8$, $\eta =1,0$ (fck ≤ 50 MPa için), basınç blok derinliği $x\cdot \lambda$.

Saha Notu: Türkiye'de C40/50 beton kullanımı yaygın olduğundan ${\beta }_1$ hesabında 28 < 40 ≤ 56 aralığı sıklıkla geçerlidir: ${\beta }_1=0,85-0,05\times (40-28)/7\approx 0,764$.

2.2 Efektif Öngerilme Gerilmesi ($f_{ps}$)

Nominal eğilme dayanımı hesabında tendon gerilmesi $f_{ps}$ belirlenmelidir. İki yöntem:

2.2.1 ACI 318-19 Yaklaşım Formülü (Bağlı Tendonlar)

$$f_{ps}=f_{pu}\left(1-\frac{{\gamma }_p}{{\beta }_1}\left[{\rho }_p\frac{f_{pu}}{f_c^{\prime }}+\frac{d}{d_p}(\omega -{\omega }^{\prime })\right]\right)$$

Burada:

• $f_{pu}$ = tendon kopma dayanımı (MPa); Y1860 için 1860 MPa
• ${\gamma }_p$ = katsayı: Y1860 düşük relaksasyonlu strand için 0,28; diğerleri için 0,40
• ${\rho }_p=A_{ps}/(b\cdot d_p)$ = tendon oranı
• $\omega =\rho f_y/f_c^{\prime }$, ${\omega }^{\prime }={\rho }^{\prime }{f}_y/f_c^{\prime }$ (geleneksel donatı terimleri)
• $d$, $d_p$ = geleneksel ve tendon donatı etkin derinlikleri (mm)

Yalnızca öngerilmeli donatı mevcutsa:

$$f_{ps}=f_{pu}\left(1-\frac{{\gamma }_p}{{\beta }_1}\cdot {\rho }_p\cdot \frac{f_{pu}}{f_c^{\prime }}\right)$$

2.2.2 Uyumluluk Yöntemi (Strain Compatibility)

Nötr eksen $c$ varsayılarak:

Tendon birim uzaması: ${\epsilon }_{ps}={\epsilon }_{pe}+{\epsilon }_{ce}+{\epsilon }_p={\epsilon }_{pe}+{\epsilon }_{ce}+\frac{d_p-c}{c}\cdot {\epsilon }_u$

Kuvvet dengesi: $C=T\Rightarrow 0,85f_c^{\prime }\cdot a\cdot b=A_{ps}\cdot f_{ps}+A_s\cdot f_s$

Tendon gerilmesi strand gerilme–şekil değiştirme eğrisinden ${\epsilon }_{ps}$'e karşılık gelen değerdir. İterasyon ile $c$ bulunur.

Dikkat: TS EN 1992-1-1 Madde 3.3.4'te strand için iki-doğrusal veya Ramberg–Osgood modeli önerilmektedir. ACI'ın yaklaşım formülü yalnızca bağlı tendonlarda uygulanabilir; serbest (unbonded) tendonlar için ayrı formül gereklidir.

2.3 Nominal Eğilme Momenti

$$M_n=A_{ps}{f}_{ps}\left(d_p-\frac{a}{2}\right)+A_s{f}_y\left(d-\frac{a}{2}\right)-A_s^{\prime }{f}_y^{\prime }\left(\frac{a}{2}-d^{\prime }\right)$$

Basınç bölgesinde eşdeğer blok derinliği:

$$a=\frac{A_{ps}{f}_{ps}+A_s{f}_y-A_s^{\prime }{f}_y^{\prime }}{0,85f_c^{\prime }\cdot b}$$

Tasarım eğilme dayanımı (ACI 318-19 Madde 21.2.1 ve 22.3.1):

$$\varphi M_n\ge M_u$$

• $\varphi =0,90$ (gerilme kontrollü bölge, ${\epsilon }_{pf}\ge 0,005$)
• $\varphi =0,75+\frac{({\epsilon }_{pf}-{\epsilon }_{py})}{(0,005-{\epsilon }_{py})}\times 0,15$ (geçiş bölgesi)

TS EN 1992-1-1 Madde 6.1 karşılığı:

$$M_{Rd}=A_{ps}\cdot f_{pd}\cdot z_p+A_s\cdot f_{yd}\cdot z_s$$

burada $f_{pd}=f_{pk,0.1}/{\gamma }_S$, ${\gamma }_S=1,15$ (EC2 Madde 2.4.2.4).

2.4 Minimum Eğilme Donatısı

Minimum moment kapasitesi (ACI 318-19):

$$\varphi M_n\ge 1,2M_{cr}$$

Çatlama momenti:

$$M_{cr}=\frac{I_g}{y_b}(f_{pe}+f_r)$$

Burada:

• $f_r=0,62\lambda \sqrt{f_c^{\prime }}$ (MPa) beton çekme dayanımı
• $f_{pe}$ = efektif öngerilmeden alt lifteki basınç gerilmesi (MPa)

TS EN 1992-1-1 yaklaşımına göre: minimum donatı $A_{s,min}$ hesabında öngerilmeli elemanlarda tendon katkısı dikkate alınabilmektedir.

Saha Notu: Türkiye'de imalatı kolay ve standart kesitli prefabrik kiriş tasarımında ACI yaklaşım formülü tercih edilmektedir. Bununla birlikte, proje onay süreçlerinde (Yapı Denetimi, 4708 sayılı Kanun) TS EN 1992-1-1'e göre hesap sunulması giderek yaygınlaşmaktadır.

3. Öngerilme Kayıpları

Öngerilme kuvvetinin doğru tahmin edilmesi tasarımın en kritik adımlarından biridir. TS EN 1992-1-1:2004 Madde 5.10.4–5.10.6 kayıpları şu şekilde sınıflandırır:

3.1 Ani (Kısa Vadeli) Kayıplar

• $\mu$ = sürtünme katsayısı: plastik kılıf için 0,05–0,07; metalik kılıf için 0,15–0,25
• $k$ = dalgalı bükülme katsayısı: 0,005–0,01 rad/m
• ${\Delta }_{set}$ = ankraj oturması: 3–6 mm (üretici verisi)

3.2 Uzun Vadeli Kayıplar

TS EN 1992-1-1 uyarınca üç uzun vadeli kayıp mevcuttur:

$$\Delta P_c+\Delta P_s+\Delta P_r=A_{ps}\cdot \Delta {\sigma }_{p,c+s+r}$$

Dikkat: Uygulamada toplam uzun vadeli kayıp genellikle başlangıç öngerilme kuvvetinin %15–25'i dolaylarında olabilmektedir. Türkiye'nin Akdeniz ikliminde rötre kayıpları öngörülenden az; karasal iklimde (Ankara, İç Anadolu) ise daha fazla olabilir.

Saha Notu: Türkiye'de şantiye şartlarında ard germeli kirişlerde toplam kayıp genellikle %18–22 olarak alınmaktadır. Daha hassas değer için TS EN 1992-1-1 denklemleri veya PCI yöntemleri kullanılmalıdır.

4. Tasarım Akış Süreci

Aşağıdaki akış diyagramı, TS 3233 / TS EN 1992-1-1 / ACI 318-19 standartlarının genel yaklaşımlarına göre öngerilmeli kiriş tasarımının tipik adımlarını göstermektedir:

5. Kesme Dayanımı Hesabı

5.1 Nominal Kesme Dayanımı (ACI 318-19 Madde 22.5)

$$V_n=V_c+V_s$$

Tipik Sınır: $V_n\le V_c+0,66\sqrt{f_c^{\prime }}\cdot b_w\cdot d$ (MPa biriminde, literatür yaklaşımı)

TS EN 1992-1-1 Madde 6.2.1 karşılığı:

$$V_{Ed}\le V_{Rd,c}+V_{Rd,s}\le V_{Rd,max}$$

burada $V_{Rd,max}={\alpha }_{cw}\cdot b_w\cdot z\cdot {\nu }_1\cdot f_{cd}/(\cot \theta +\tan \theta )$ (kiriş kafes modeli).

5.2 Beton Kesme Dayanımı — Detaylı Yöntem (ACI 318-19)

ACI 318 genel yaklaşımlarına göre, öngerilmeli beton kirişlerde beton kesme dayanımı değerlendirmesinde tipik olarak şu iki değerden küçüğü referans alınabilmektedir:

5.2.1 Eğilme–Kayma Çatlama Kuvveti ($V_{ci}$)

Eğilme çatlağının kayma çatlamasına dönüştüğü noktadaki kesme kuvveti:

$$V_{ci}=0,05\lambda \sqrt{f_c^{\prime }}\cdot b_w{d}_p+V_d+\frac{V_i{M}_{cre}}{M_{max}}\ge 0,14\lambda \sqrt{f_c^{\prime }}\cdot b_w{d}_p$$

Burada (MPa ve mm birimleri):

• $\lambda$ = hafif beton azaltma faktörü (normal beton için 1,0)
• $f_c^{\prime }$ = beton karakteristik basınç dayanımı (MPa); C40/50 için 40 MPa
• $b_w$ = gövde genişliği (mm)
• $d_p$ = basınç lifinden tendon ağırlık merkezine mesafe (mm)
• $V_d$ = hesap noktasında ölü yükten kayma kuvveti (kN)
• $V_i$ = hesap noktasındaki faktörlü toplam kayma kuvveti ($M_{max}$ ile eş zamanlı)
• $M_{max}$ = hesap noktasındaki maksimum faktörlü moment (kN·mm)
• $M_{cre}$ = çatlama momenti:

$$M_{cre}=\frac{I}{y_b}\left(f_{pe}-f_d+f_r\right)$$

$f_{pe}$ = tendon eksenindeki öngerilme basınç gerilmesi, $f_d$ = ölü yük gerilmesi, $f_r=0,5\lambda \sqrt{f_c^{\prime }}$ (MPa).

5.2.2 Gövde Kayma Çatlama Kuvveti ($V_{cw}$)

Beton gövdesindeki asal çekme gerilmesinin çekme dayanımına ulaştığı nokta:

$$V_{cw}=(0,29\lambda \sqrt{f_c^{\prime }}+0,3f_{pc})\cdot b_w{d}_p+V_p$$

Burada:

• $f_{pc}$ = tüm öngerilme kayıpları sonrası beton ağırlık merkezindeki basınç gerilmesi (MPa)
• $V_p$ = efektif öngerilme kuvvetinin düşey bileşeni (kN); parabolik profil için $V_p=P_e\cdot \sin \alpha$

Beton kesme dayanımı:

$$V_c=\min (V_{ci},V_{cw})$$

5.2.3 TS EN 1992-1-1 Madde 6.2.2 Karşılığı

Çatlamamış bölge için:

$$V_{Rd,c}=\frac{I\cdot b_w}{S}\sqrt{f_{ctd}^2+{\alpha }_l\cdot {\sigma }_{cp}\cdot f_{ctd}}$$

burada:

• $I$ = atalet momenti
• $S$ = ağırlık merkezindeki kesitin birinci momenti
• $f_{ctd}=0,7f_{ctm}/1,5$ = tasarım çekme dayanımı
• ${\sigma }_{cp}$ = öngerilmeden kaynaklanan beton eksenel gerilmesi

5.3 Kesme Donatısı Katkısı ($V_s$)

Dikdörtgen etriyeler için (ACI 318-19):

$$V_s=\frac{A_v{f}_{yt}d}{s}$$

TS EN 1992-1-1 Madde 6.2.3 (kafes modeli):

$$V_{Rd,s}=\frac{A_{sw}}{s}\cdot z\cdot f_{ywd}\cdot \cot \theta$$

$1,0\le \cot \theta \le 2,5$ (EC2 Denk. 6.7N), önerilen başlangıç değeri $\cot \theta =2,5$.

Gerekli etriye alanı:

$$A_v\ge \frac{(V_u/\varphi -V_c)\cdot s}{f_{yt}\cdot d}$$

Dikkat: ACI yaklaşımında $f_{yt}$ etriye akma dayanımıdır ve sınır değerler tipik olarak 420 MPa dolaylarında alınabilmektedir. Türkiye'de B500C kullanıldığında farklı standartlardaki sınırlar proje koşullarına göre değerlendirilmelidir.

5.4 Minimum Kesme Donatısı (ACI 318-19 Madde 9.6.3.3)

Öngerilmeli kirişler için minimum etriye:

$$A_{v,min}=\min \left(\frac{0,062\sqrt{f_c^{\prime }}\cdot b_{w}s}{f_{yt}},\frac{A_{ps}{f}_{pu}s}{80f_{yt}d}\sqrt{\frac{d}{b_w}}\right)$$

Minimum etriye muafiyeti yaklaşımları: Tipik olarak Yükseklik $\le 300\text{ mm}$ VEYA $A_{ps}{f}_{se}<0,4(A_{ps}{f}_{pu}+A_s{f}_y)$ gibi şartların sağlandığı bazı durumlarda minimum etriye aranmayabilmektedir.

TS EN 1992-1-1 Madde 9.2.2 karşılığı:

$${\rho }_{w,min}=\frac{0,08\sqrt{f_{ck}}}{f_{yk}}(\text{Tu¨rkiye NA: aynı deg˘er})$$

5.5 Maksimum Etriye Aralığı

ACI 318-19 Madde 9.7.6.2.2:

$$s_{max}=\min \left(0,75h,600\text{ mm}\right)$$

Yüksek kesme kuvvetleri için ($V_u>0,17\sqrt{f_c^{\prime }}{b}_{w}d$):

$$s_{max}=\min \left(0,375h,300\text{ mm}\right)$$

TS EN 1992-1-1 Madde 9.2.2(6): $s_{max}=0,75d(1+\cot \alpha )$.

Saha Notu: Türkiye'de deprem bölgelerinde etriye aralığı TBDY 2018 Madde 7.4.4 ile ayrıca kısıtlanır. Sarılma bölgelerinde etriye aralıkları kiriş etkili yüksekliğinin 1/4'ünü, en küçük boyuna donatı çapının sekiz katını ve 150 mm'yi aşmayacaktır.

6. Gerilme Kontrolleri (Servis Yükü)

6.1 Transfer Anı Gerilme Limitleri (ACI 318-19 Tablo 24.5.3.1)

C40/50 için ($f_{ci}=32\text{ MPa}$, 0,80$f_{ck}$ olarak):

• Basınç limiti: $0,60\times 32=19,2\text{ MPa}$
• Çekme limiti: $0,50\sqrt{32}=2,83\text{ MPa}$

TS EN 1992-1-1 Madde 5.10.2.2 karşılığı: Transfer anında ${\sigma }_c\le k_1{f}_{ck}(t)$, çekme: ${\sigma }_{ct}\le k_2{f}_{ctm}(t)$ (NA değerleri: k1 = 0,60; k2 = 1,0).

6.2 Servis Yükü Gerilme Limitleri (ACI 318-19 Tablo 24.5.4.1)

C40/50 için: $0,45\times 40=18\text{ MPa}$ (basınç), $0,62\sqrt{40}=3,92\text{ MPa}$ (U sınıfı çekme).

TS EN 1992-1-1 Madde 7.2 karşılığı: ${\sigma }_c\le 0,6f_{ck}$ (çatlama kontrolü için ${\sigma }_c\le 0,45f_{ck}$).

Dikkat: Türkiye'de köprü ve viyadük gibi yapılarda ilgili kurum şartnameleri ek gerilme limitleri getirebilir. Özellikle frekans yüklerinde yorulma kontrolünün ayrıca yapılması önerilir.

7. TBDY 2018 Kapsamında Deprem Tasarımı

Saha Notu: Prefabrik öngerilmeli kirişlerin kolon–kiriş birleşim bölgelerinde yeterli ankraj uzunluğu ve bağlantı düzeneği tasarlanmalıdır. Türkiye'nin 1. derece deprem bölgelerinde (Erzincan, İzmit, Düzce gibi) bu birleşimler özel önem taşımaktadır.

8. Hesap Özeti Tablosu

9. Örnek Problemler

Problem 1 — Kolay

Veriler:

• Dikdörtgen kesit: $b_w=b=300\text{ mm}$, $h=500\text{ mm}$
• Beton: C40/50, $f_c^{\prime }=40\text{ MPa}$
• Strand: Y1860 (low-relaxation), $f_{pu}=1860\text{ MPa}$
• Tendon alanı: $A_{ps}=392{\text{ mm}}^2$ (3 × Ø12,7 mm strand)
• Tendon konumu: $d_p=430\text{ mm}$
• Geleneksel donatı yok ($A_s=A_s^{\prime }=0$)
• Efektif öngerilme: $f_{pe}=1120\text{ MPa}$
• Yük kombinasyonu: $M_u=280\text{ kN}\cdot \text{m}$

İstenen: Yaklaşım formülü ile $f_{ps}$ ve $\varphi M_n$ hesaplayınız. $\varphi M_n\ge M_u$ kontrolü yapınız.

Çözüm:

Adım 1 — ${\beta }_1$ hesabı (ACI 318-19 Tablo 22.2.2.4.3):

$${\beta }_1=0,85-0,05\cdot \frac{40-28}{7}=0,85-0,0857=0,764$$

Adım 2 — Tendon oranı:

$${\rho }_p=\frac{A_{ps}}{b\cdot d_p}=\frac{392}{300\times 430}=3,04\times 10^{-3}$$

Adım 3 — $f_{ps}$ (ACI 318-19 Madde 22.3.3.1, yalnızca $A_{ps}$):

$${\gamma }_p=0,28\text{(Y1860 low-relax)}$$ $$f_{ps}=1860\left(1-\frac{0,28}{0,764}\times 3,04\times 10^{-3}\times \frac{1860}{40}\right)=1860\times (1-0,0518)$$ $$f_{ps}=1860\times 0,9482\approx 1764\text{ MPa}$$

Adım 4 — Eşdeğer blok derinliği:

$$a=\frac{A_{ps}{f}_{ps}}{0,85f_c^{\prime }\cdot b}=\frac{392\times 1764}{0,85\times 40\times 300}=\frac{691,488}{10,200}\approx 67,8\text{ mm}$$

Adım 5 — Nominal eğilme momenti:

$$M_n=A_{ps}{f}_{ps}\left(d_p-\frac{a}{2}\right)=392\times 1764\times \left(430-\frac{67,8}{2}\right)=691,488\times 396,1=273,8\text{ kN}\cdot \text{m}$$

Adım 6 — Tasarım dayanımı (${\epsilon }_{pf}$ kontrolü > 0,005 → $\varphi =0,90$):

$$\varphi M_n=0,90\times 273,8=246,4\text{ kN}\cdot \text{m}$$

Sonuç: $\varphi M_n=246,4\text{ kN}\cdot \text{m}<M_u=280\text{ kN}\cdot \text{m}$ — Yetersiz. $A_{ps}$ artırılmalı (minimum ~450 mm²) veya $d_p$ derinleştirilmelidir.

Problem 2 — Orta

Veriler:

• Dikdörtgen kesit: $b_w=200\text{ mm}$, $h=600\text{ mm}$
• Beton: C40/50, $f_{ck}=40\text{ MPa}$, $f_{ctm}=3,5\text{ MPa}$ (EN 1992-1-1 Tablo 3.1)
• Strand: Y1860, $f_{pu}=1860\text{ MPa}$
• Tendon alanı: $A_{ps}=600{\text{ mm}}^2$
• Efektif örtü: $c_{nom}=50\text{ mm}$ → $d=535\text{ mm}$
• Efektif öngerilme gerilmesi: ${\sigma }_{pe}=f_{pe}=1050\text{ MPa}$
• Öngerilme kuvveti: $P_{m,inf}=A_{ps}\times f_{pe}=600\times 1050=630\text{ kN}$
• Kesit alanı: $A_c=b_w\times h=200\times 600=120.000{\text{ mm}}^2$
• Eksenel gerilme: ${\sigma }_{cp}=P_{m,inf}/A_c=630.000/120.000=5,25\text{ MPa}$
• Tasarım kesme kuvveti: $V_{Ed}=180\text{ kN}$

İstenen: TS EN 1992-1-1 uyarınca çatlamamış bölge için $V_{Rd,c}$ hesaplayınız. Etriye gerekli mi?

Çözüm:

Adım 1 — Malzeme tasarım değerleri:

$$f_{ctd}=0,7\times f_{ctm}/{\gamma }_c=0,7\times 3,5/1,5=1,63\text{ MPa}$$ $$f_{cd}=f_{ck}/{\gamma }_c=40/1,5=26,7\text{ MPa}$$

Adım 2 — Kesit geometrik özellikleri (dikdörtgen):

$$I=\frac{b_w{h}^3}{12}=\frac{200\times 600^3}{12}=3,6\times 10^9{\text{ mm}}^4$$ $$S=\frac{b_w}{2}\times {\left(\frac{h}{2}\right)}^2/2=\frac{200\times 300^2}{8}=2,25\times 10^6{\text{ mm}}^3\text{(simetrik — ag˘ırlık merkezinde)}$$

Adım 3 — $V_{Rd,c}$ (çatlamamış kesit — EN 1992-1-1 Denklem 6.4):

$$V_{Rd,c}=\frac{I\cdot b_w}{S}\sqrt{f_{ctd}^2+{\sigma }_{cp}\cdot f_{ctd}}=\frac{3,6\times 10^9\times 200}{2,25\times 10^6}\sqrt{1,63^2+5,25\times 1,63}$$ $$=320.000\times \sqrt{2,657+8,558}=320.000\times \sqrt{11,215}=320.000\times 3,349=1.072\times 10^6\text{ N}=1072\text{ kN}$$

Adım 4 — Kontrol:

$$V_{Ed}=180\text{ kN}<V_{Rd,c}=1072\text{ kN}$$

Sonuç: Kesme dayanımı yeterli görünmektedir. TS EN 1992-1-1 yaklaşımlarına göre minimum etriye konulması yeterli olabilir.

$${\rho }_{w,min}=\frac{0,08\sqrt{f_{ck}}}{f_{yk}}=\frac{0,08\sqrt{40}}{420}=1,20\times 10^{-3}$$

B420C, Ø8 çift kollu, s = 200 mm → ${\rho }_w=2\times 50/(200\times 200)=2,5\times 10^{-3}>{\rho }_{w,min}$ ✓

Kontrol: Öngerilmeden kaynaklanan ${\sigma }_{cp}=5,25\text{ MPa}$, $V_{Rd,c}$'yi yaklaşık %40 artırmıştır; bu durum öngerilmenin kesme davranışına kritik katkısını göstermektedir.

Problem 3 — İleri Düzey

Veriler:

• T-kesit: Flanş 600×120 mm, gövde 150×480 mm, toplam h = 600 mm
• Beton: C40/50, $f_c^{\prime }=40\text{ MPa}$, $\lambda =1,0$
• Strand: Y1860, $A_{ps}=560{\text{ mm}}^2$ (4 × Ø13,3 mm)
• $d_p=530\text{ mm}$, $f_{pu}=1860\text{ MPa}$, $f_{se}=f_{pe}=1100\text{ MPa}$
• $P_e=A_{ps}\times f_{se}=560\times 1100=616\text{ kN}$ (efektif öngerilme kuvveti)
• Parabolik tendon profili: mesnet ekseninde eğim $\alpha =3,5°=0,0611\text{ rad}$
• $V_p=P_e\times \sin \alpha =616\times \sin (3,5°)=37,6\text{ kN}$
• $f_{pc}$ (ağırlık merkezinde) = $616.000/A_c=616.000/88.200=6,98\text{ MPa}$
• Ölü yük kesme kuvveti: $V_d=65\text{ kN}$
• Faktörlü kesme–moment çifti: $V_i=220\text{ kN}$, $M_{max}=850\text{ kN}\cdot \text{m}$
• $I=1,48\times 10^{10}{\text{ mm}}^4$, $y_b=350\text{ mm}$, $f_d=1,54\text{ MPa}$

İstenen: ACI 318-19 uyarınca $V_{ci}$ ve $V_{cw}$ hesaplayın; $V_c$, gerekli etriye ve maksimum aralık belirleyin.

Çözüm:

Adım 1 — $M_{cre}$ hesabı:

$$f_r=0,5\times 1,0\times \sqrt{40}=3,162\text{ MPa}$$ $$f_{pe}(\text{alt lif})=\frac{P_e}{A_c}+\frac{P_e\cdot e\cdot y_b}{I}=6,98+\frac{616000\times 180\times 350}{1,48\times 10^{10}}=6,98+2,626=9,606\text{ MPa}$$

(not: $e=d_p-\bar{y}=530-350=180\text{ mm}$)

$$M_{cre}=\frac{I}{y_b}(f_{pe}-f_d+f_r)=\frac{1,48\times 10^{10}}{350}(9,606-1,54+3,162)=42,286\times 10^6\times 11,228=474,7\text{ kN}\cdot \text{m}$$

Adım 2 — $V_{ci}$ hesabı:

$$V_{ci}=0,05\times 1,0\times \sqrt{40}\times 150\times 530+65+\frac{220\times 474,7\times 10^6}{850\times 10^6}$$ $$=25,13\text{ kN}+65+122,9\text{ kN}=213,0\text{ kN}$$

Minimum kontrol:

$$0,14\sqrt{40}\times 150\times 530=70,36\text{ kN}<213,0\text{ kN}✓$$

Adım 3 — $V_{cw}$ hesabı:

$$V_{cw}=(0,29\times 1,0\times \sqrt{40}+0,3\times 6,98)\times 150\times 530+37,6$$ $$=(1,834+2,094)\times 79500+37600=312,276+37,600=349,9\text{ kN}$$

Adım 4 — Beton kesme dayanımı ve gerekli etriye:

$$V_c=\min (213,0,349,9)=213,0\text{ kN}\text{(Vci kontrol ediyor)}$$

Tasarım için: $V_u=280\text{ kN}$, $\varphi =0,75$

$$\frac{V_u}{\varphi }-V_c=\frac{280}{0,75}-213,0=373,3-213,0=160,3\text{ kN}$$

B420C, Ø10 çift kollu etriye → $A_v=2\times 78,5=157{\text{ mm}}^2$, $f_{yt}=420\text{ MPa}$

Gerekli aralık:

$$s=\frac{A_v{f}_{yt}d}{V_u/\varphi -V_c}=\frac{157\times 420\times 530}{160300}\approx 218\text{ mm}$$

Adım 5 — Maksimum aralık kontrolü ($V_u>0,17\sqrt{f_c^{\prime }}{b}_{w}d$ tipik koşulu dikkate alınarak):

$$s_{max}=\min (0,375\times 600,300)=\min (225,300)=225\text{ mm}$$

$218\text{ mm}<225\text{ mm}$ ✓ → Ø10/200 seç (güvenli taraf)

Adım 6 — Minimum etriye kontrolü (ACI 318-19):

$$A_{v,min,1}=\frac{0,062\sqrt{40}\times 150\times 200}{420}\approx 140{\text{ mm}}^2$$ $$A_{v,min,2}=\frac{560\times 1860\times 200}{80\times 420\times 530}\sqrt{\frac{530}{150}}\approx 22,0{\text{ mm}}^2$$ $$A_{v,min}=\min (140,22)=22{\text{ mm}}^2\ll 157{\text{ mm}}^2✓$$

Sonuç: Ø10 çift kollu etriye, s = 200 mm; $\varphi V_n=0,75\times (213,0+174,9)=290,9\text{ kN}>V_u=280\text{ kN}$ ✓

Kontrol: $V_{ci}$ kontrol etmektedir ($V_{ci}<V_{cw}$); bu durum çatlama–kayma çatlamasına dönüşüm riskinin yüksek olduğunu gösterir. Tendon kılıflama (debonding) bölgeleri tasarımcı tarafından ayrıca incelenmelidir.

10. Sık Yapılan Hatalar

Kaynaklar

1. ACI 318-19. Building Code Requirements for Structural Concrete, Chapters 9, 21, 22, 24, 26. American Concrete Institute, 2019.
2. TS EN 1992-1-1:2004+AC:2010. Beton Yapıların Tasarımı — Bölüm 1-1: Genel Kurallar. Türk Standartları Enstitüsü, Madde 5.10, 6.1, 6.2, 7.2.
3. TS 3233:1979. Öngerilmeli Beton Yapıların Hesap ve Yapım Kuralları. Türk Standartları Enstitüsü, Şubat 1979.
4. TBDY 2018. Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği, Bölüm 7 ve 14. Afet ve Acil Durum Yönetimi Başkanlığı, 18 Mart 2018.
5. Shin, H. J., Yerzhanov, M., Lee, D., Shin, H., & Kang, T. H.-K. (2023). Modifications to ACI 318 Shear Design Method for Prestressed Concrete Members: Detailed Method. PCI Journal, January–February 2023. DOI: 10.15554/pcij68.1-01.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Kiriş Boyutlandırma Hesaplama
• Kiriş Donatısı Hesaplama
• Etriye Donatısı Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.

yapidan (2026). Öngerilmeli Kiriş Eğilme ve Kesme Hesabı. Yapıdan — İnşaat Mühendisliği Bilgi Portalı. https://yapidan.com/kategoriler/ob/ongerilmeli-kiris-egilme-kesme-hesabi