Öngerilme Kayıpları Hesabı

Özet

Öngerilmeli beton elemanlarda jacking kuvvetinden ($P_j$) efektif öngerilme kuvvetine ($P_e$) geçişte çeşitli kayıplar oluşur. Bu kayıplar anlık (anında gerçekleşen) ve zamana bağlı (uzun dönemli) olmak üzere iki ana sınıfa ayrılır. Anlık kayıplar arasında sürtünme, ankraj kayması ve elastik kısalma yer alırken; zamana bağlı kayıplar sünme, rötre ve relaksasyondan oluşur. TS EN 1992-1-1:2009 Madde 5.10'a göre bu kayıpların doğru hesaplanması, yapının servis ömrü boyunca güvenli çalışması için zorunludur. Türkiye'deki köprü ve yapı projelerinde toplam öngerilme kaybı genellikle jacking gerilmesinin %15–25'i arasında kalmaktadır.

1. Kayıpların Sınıflandırması

Jacking kuvvetinden efektif öngerilme kuvvetine geçiş süreci şu şekilde işler:

$P_j$ (Jacking Kuvveti) → Anlık Kayıplar → $P_i$ (Transfer Kuvveti) → Zamana Bağlı Kayıplar → $P_e$ (Efektif Kuvvet)

Tablo 1: Kayıpların Sınıflandırması

Toplam kayıp, tüm bileşenlerin toplamıdır:

$\Delta f_{p,toplam} = \Delta f_{friction} + \Delta f_{anchorage} + \Delta f_{ES} + \Delta f_{CR} + \Delta f_{SH} + \Delta f_{RE}$

Saha Notu: Türkiye'de KGM köprü kirişleri (TT-03, TT-04 I profil kirişler) ön çekme yöntemiyle prefabrik olarak üretilmektedir. Tipik açıklık aralığı 25–40 m olan bu kirişlerde toplam kayıp %18–22 arasında ölçülmektedir. Son çekme uygulamaları özellikle yerinde döküm köprü tabliyelerinde ve 40 m üzeri açıklıklarda tercih edilmektedir.

2. Anlık Kayıplar

2.1 Sürtünme Kaybı — Yalnızca Son Çekme

Tendon kanalı içindeki sürtünme nedeniyle jacking ucundan uzaklaştıkça tendon kuvveti azalır. Bu kayıp yalnızca son çekme sistemlerinde geçerlidir.

Tendon kuvveti $x$ mesafesinde (TS EN 1992-1-1:2009 Madde 5.10.5.2, Denklem 5.45):

$P_x = P_j \cdot e^{-(\mu \alpha + K x)}$

Küçük kayıplar için lineer yaklaşım:

$P_x \approx P_j \left(1 - \mu\alpha - Kx\right)$

Gerilme kaybı:

$\Delta f_{friction} = f_{pj} \left(1 - e^{-(\mu\alpha + Kx)}\right)$

Tablo 2: Notasyon ve Semboller

Tablo 3: Sürtünme Kaybı — Yalnızca Son Çekme

Saha Notu: Türkiye'de HDPE plastik kanal kullanımı son yıllarda artmaktadır. HDPE kanallar hem daha düşük sürtünme katsayısı ($\mu$ = 0,12) hem de korozyon koruması avantajı sağlar. KGM Teknik Şartnamesinde metal kanal standart olarak öngörülmekle birlikte, Karadeniz ve Ege sahil bölgelerinde HDPE kanal seçilmesi tavsiye edilmektedir.

Dikkat: Sürtünme katsayıları tasarım aşamasında tahmin değerleridir; saha kontrolü sırasında ölçülen uzama ile hesaplanan değer arasındaki fark ±%5'i aşmamalıdır. TS EN 13670:2009 Madde 7.6.1 uyarınca germe işleminde ölçüm yapılması zorunludur.

2.2 Ankraj Kayması Kaybı — Yalnızca Son Çekme

Kilit sistemindeki kama veya ankraj elemanı, gerilme tamamlanıp krikodan sonra geriye doğru kısa bir mesafe kayar. Bu kayış tendon kuvvetinde kayba neden olur.

Set etkisinin yayıldığı etki uzunluğu:

$l_{set} = \sqrt{\frac{\Delta_{set} \cdot A_p \cdot E_p}{\Delta p_\mu}}$

Tablo 4: Notasyon ve Semboller

Tablo 5: Ankraj Kayması Kaybı — Yalnızca Son Çekme

$l_{set}$ mesafesine kadar ters sürtünme oluşur; gerilme profili üçgen şeklinde değişir:

$f_{anchorage}(x) = \frac{2\Delta_{set} E_p}{l_{set}}$

Tipik değer: Ankraj kayışı $\Delta_{set}$ = 6 mm, L = 30 m kiriş için yaklaşık %1–3 kayıp.

Saha Notu: Türkiye şantiyelerinde en sık rastlanan hata, ankraj sisteminin kuru ve kirlilik içinde bırakılmasıdır; bu durum nominal 6 mm yerine 10–14 mm'ye varan kayışa yol açabilir. Ankraj plakalarının yüzeyinin her germe öncesinde temizlenmesi ve yağlanması gerekmektedir.

Dikkat: Ankraj kayışından kaynaklanan kayıp, kısa kirişlerde (L < 15 m) toplam kaybın %30–40'ını oluşturabilir. Bu nedenle kısa elemanlarda her iki uçtan germe uygulanması değerlendirilmelidir.

2.3 Elastik Kısalma Kaybı

Tendon gerildiğinde beton sıkıştırılır; bu sıkışma kısalması tendondaki gerilmeyi düşürür.

Ön Çekme — ACI 318-19 ve TS 3233:1979:

$\Delta f_{p,ES} = \frac{E_p}{E_{ci}} \cdot f_{cgp}$

Son Çekme (sıralı germe durumu) — TS EN 1992-1-1:2009 Madde 5.10.5.1:

$\Delta P_{el} = A_p \cdot E_p \cdot j \cdot \frac{\sigma_{c}}{E_{cm}(t)}$

Burada $j = (n-1)/(2n)$; $n$ = sırayla gerilen aynı özellikteki tendon sayısı. Son gerilen tendon için $j$ = 0.

Tablo 6: Elastik Kısalma Kaybı

Tendon ağırlık merkezindeki beton basınç gerilmesi:

$f_{cgp} = \frac{P_i}{A_g} + \frac{P_i \cdot e^2}{I_g} - \frac{M_g \cdot e}{I_g}$

Tablo 7: Notasyon ve Semboller

Saha Notu: Türkiye'de KGM kirişleri için transfer beton sınıfı genellikle C35/45 veya C40/50 olup $E_{ci}$ = 30.000–33.000 MPa aralığındadır. TS EN 1992-1-1:2009 Tablo 3.1'de beton sınıflarına göre elastisite modülleri verilmektedir.

3. Zamana Bağlı Kayıplar

3.1 Sünme Kaybı

Sabit yük altında betonun zamanla uzaması (sünme) tendondaki gerilmeyi düşürür.

ACI 318-19 Basitleştirilmiş Yöntemi (Eq. 26.10.3):

$\Delta f_{p,CR} = K_{cr} \cdot \frac{E_p}{E_c} \left(f_{cgp} - f_{cdp}\right)$

Burada $K_{cr}$ = sünme katsayısı: ön çekme için 2,0, son çekme için 1,6; $f_{cdp}$ = servis yükleri uygulandıktan sonra tendon merkezindeki beton gerilme azalması.

TS EN 1992-1-1:2009 Madde 5.10.6 — Birleşik Zaman Bağımlı Kayıp:

$\Delta P_{c+s+r} = A_p \cdot \frac{\varepsilon_{cs} E_p + 0{,}8\Delta\sigma_{pr} + \frac{E_p}{E_{cm}}\varphi(t,t_0)\sigma_{c,QP}}{1 + \frac{E_p A_p}{E_{cm} A_c}\left(1 + \frac{A_c z_{cp}^2}{I_c}\right)\left[1 + 0{,}8\varphi(t,t_0)\right]}$

Sünme katsayısı $\varphi(\infty, t_0)$, TS EN 1992-1-1:2009 Ek B'ye göre bağıl nem, beton dayanımı ve yükleme yaşına bağlıdır.

Tablo 8: Sünme Kaybı

Kaynak: TS EN 1992-1-1:2009 Ek B.1, Şekil B.1

Saha Notu: Türkiye'nin farklı iklim bölgelerine göre tasarım bağıl nemi: Karadeniz kıyısı %70–80, Ege–Akdeniz %60–70, İç Anadolu %40–55, Doğu Anadolu %45–65. TBDY 2018 kapsamında yüksek deprem bölgelerinde deprem gerilme artışları da hesaba katılmalıdır.

Dikkat: Sünme katsayısı beton yükleme yaşına son derece duyarlıdır. Ön çekme kirişlerinde transfer anındaki beton yaşı mümkün olduğunca büyük tutulmalıdır (en az 7–14 gün); erken transfer sünme kayıplarını artırır.

3.2 Rötre Kaybı

Betonun kuruma rötresinin tendondaki gerilmeyi azaltması:

ACI 318-19:

$\Delta f_{p,SH} = K_{sh} \cdot E_p \cdot \varepsilon_{sh}$

Burada $K_{sh}$ = rötre katsayısı: ön çekme 1,0, son çekme 0,8; $\varepsilon_{sh}$ = rötre birim deformasyonu (tipik 200–400 × 10⁻⁶).

Tipik değer:

$\Delta f_{p,SH} = 1{,}0 \times 195{.}000 \times 300 \times 10^{-6} = 58{,}5 \text{ MPa}$

TS EN 1992-1-1:2009 Madde 3.1.4 — Toplam Rötre Birim Şekil Değiştirmesi:

$\varepsilon_{cs} = \varepsilon_{cd} + \varepsilon_{ca}$

Burada $\varepsilon_{cd}$ = kuruma rötresinden birim şekil değiştirme; $\varepsilon_{ca}$ = otojenik rötre: $\varepsilon_{ca}(\infty) = 2{,}5(f_{ck}-10) \times 10^{-6}$.

Tablo 9: Rötre Kaybı

Saha Notu: Türkiye'de özellikle iç bölgelerde (Ankara, Konya, Erzurum) bağıl nem düşük olduğundan rötre kayıpları Akdeniz veya Karadeniz kıyılarına kıyasla %30–50 daha fazla olabilir. Tasarım aşamasında sahaya özgü iklim verilerinin kullanılması önerilir.

3.3 Relaksasyon Kaybı

Sabit uzama altında tendondaki gerilmenin zamanla azalması (çeliğin creep etkisi):

ACI 318-19 (Low-Relaxation Strand):

$\Delta f_{p,R} = \left[\frac{f_{pi}}{K_{re}} - J\left(\Delta f_{SH} + \Delta f_{CR} + \Delta f_{ES}\right)\right] C$

TS EN 1992-1-1:2009 Madde 3.3.2(5) — Sınıf 2, Low-Relaxation Strand:

$\Delta\sigma_{pr} = 0{,}66 \rho_{1000} \cdot e^{9{,}1\mu} \left(\frac{t}{1000}\right)^{0{,}75(1-\mu)} \times 10^{-5} \sigma_{pi}$

Burada $\rho_{1000}$ = 1000 saatte relaksasyon yüzdesi; $\mu = \sigma_{pi}/f_{pk}$ = başlangıç gerilmesinin karakteristik dayanıma oranı; $t$ = zaman (saat).

Tablo 10: Relaksasyon Kaybı

Saha Notu: Türkiye'de KGM ve DSİ köprü projelerinde standart olarak Sınıf 2 (Low-Relaxation) strand kullanılmaktadır. Grade 270 (fpk = 1860 MPa, fpy = 1580 MPa) Y1860S7 teli en yaygın kullanılan öngerilme çeliğidir.

4. Toplam Kayıp Tahmini

4.1 Toplam Kayıp Yüzdeleri

Jacking gerilmesinden başlayarak efektif öngerilme gerilmesi:

$f_{pe} = f_{pj} - \Delta f_{toplam}$

ACI 318-19'a göre izin verilen maksimum jacking gerilmesi: $f_{pj} \leq 0{,}94 f_{py}$ ve $f_{pj} \leq 0{,}80 f_{pu}$. Tipik jacking gerilmesi: $f_{pj}$ = 0,75 $f_{pu}$ → Grade 270 strand için 1395 MPa.

Tablo 11: Toplam Kayıp Yüzdeleri

Kaynak: ACI 423.10R-16, Tablo 1.1; TS EN 1992-1-1:2009 Md. 5.10

4.2 Örnek — Efektif Öngerilme Kuvveti Tahmini

Son çekme kirişi, L = 28 m, Grade 270 strand:

• Jacking gerilmesi: $f_{pj}$ = 1400 MPa
• Sürtünme katsayısı: $\mu$ = 0,18, $K$ = 0,003 m⁻¹
• Kümülatif açısal değişim (orta noktaya kadar): $\alpha$ = 0,20 rad

Orta noktada sürtünme kaybı:

$P_x = P_j \cdot e^{-(0{,}18 \times 0{,}20 + 0{,}003 \times 14)} = P_j \cdot e^{-0{,}078} = 0{,}925\, P_j$

$\Delta f_{friction} = 1400 \times (1 - 0{,}925) = 105 \text{ MPa} \approx 7{,}5\%$

5. Hesap Örnekleri

Problem 1 — Kolay

Veriler:

• Son çekme kirişi; L = 20 m, tek adet parabolik tendon
• Jacking gerilmesi: $f_{pj}$ = 1300 MPa
• Sürtünme katsayısı: $\mu$ = 0,20 (metal kanal, TS EN 1992-1-1:2009 Tablo 5.1)
• Wobble katsayısı: $K$ = 0,008 m⁻¹
• Kümülatif açı değişimi (uç → orta, L/2 = 10 m): $\alpha$ = 0,15 rad

İstenen: Kirişin orta noktasındaki ($x$ = 10 m) sürtünme gerilme kaybı $\Delta f_{friction}$.

Çözüm:

Adım 1 — Üstel formülü uygula (TS EN 1992-1-1:2009 Md. 5.10.5.2, Denklem 5.45):

$f_{p,10} = 1300 \cdot e^{-(0{,}20 \times 0{,}15 + 0{,}008 \times 10)}$

Adım 2 — Üs değerini hesapla:

$\mu\alpha + Kx = 0{,}030 + 0{,}080 = 0{,}110$

Adım 3 — Gerilme değeri:

$f_{p,10} = 1300 \cdot e^{-0{,}110} = 1300 \times 0{,}8958 = 1164{,}5 \text{ MPa}$

Adım 4 — Kayıp:

$\Delta f_{friction} = 1300 - 1164{,}5 = 135{,}5 \text{ MPa}$

Sonuç: Orta noktada sürtünme kaybı = 135,5 MPa (%10,4). Bu değer, metal kanal için TS EN 1992-1-1:2009 Tablo 5.1 kapsamındaki tipik %5–12 aralığındadır.

Problem 2 — Orta

Veriler:

• Ön çekme kirişi; dikdörtgen kesit $b$ = 300 mm, $h$ = 600 mm
• $A_g$ = 180.000 mm², $I_g$ = 5,40 × 10⁹ mm⁴
• Tendon: 6 × $\varnothing$15,2 mm (Y1860), $A_p$ = 6 × 140 = 840 mm²
• Tendon eksantrisitesi: $e$ = 200 mm
• Jacking kuvveti: $P_i$ = 840 × 1395 = 1.171.800 N ≈ 1171,8 kN
• Transfer anındaki beton dayanımı: $f_{ci}$ = 30 MPa → $E_{ci}$ = 27.900 MPa
• Kiriş öz ağırlık momenti (orta açıklık): $M_g$ = 110 kN· m; $E_p$ = 195.000 MPa

İstenen: Orta kesitte elastik kısalma gerilme kaybı $\Delta f_{p,ES}$.

Çözüm:

Adım 1 — Tendon merkezindeki beton basınç gerilmesi:

$f_{cgp} = \frac{1{.}171{.}800}{180{.}000} + \frac{1{.}171{.}800 \times 200^2}{5{,}40 \times 10^9} - \frac{110 \times 10^6 \times 200}{5{,}40 \times 10^9}$

$f_{cgp} = 6{,}51 + 8{,}68 - 4{,}07 = 11{,}12 \text{ MPa}$

Adım 2 — Elastik kısalma kaybı (TS EN 1992-1-1:2009 Md. 5.10.5.1):

$\Delta f_{p,ES} = \frac{E_p}{E_{ci}} \cdot f_{cgp} = \frac{195{.}000}{27{.}900} \times 11{,}12 = 6{,}99 \times 11{,}12 = 77{,}7 \text{ MPa}$

Adım 3 — Kayıp yüzdesi: 77,7 / 1395 × 100 = %5,6

Sonuç: Elastik kısalma gerilme kaybı = 77,7 MPa (%5,6). Bu değer, ön çekme için tipik aralık olan %4–8 içindedir.

Problem 3 — İleri Düzey

Veriler:

• Son çekme I-kirişi, L = 30 m
• Kesit: $A_c$ = 240.000 mm², $I_c$ = 3,20 × 10¹⁰ mm⁴
• Tendon: 12 × $\varnothing$15,2 mm Y1860S7 (Sınıf 2 Low-Rel), $A_p$ = 12 × 140 = 1680 mm²
• $E_p$ = 195.000 MPa, $E_{cm}$ = 35.000 MPa (C40/50, 28 gün)
• Eksentrisite: $z_{cp}$ = $e$ = 280 mm
• $P_j$ = 1680 × 1395 = 2.343.600 N = 2343,6 kN
• Bağıl nem: RH = %55 (İç Anadolu — Ankara bölgesi)
• Sünme katsayısı: $\varphi(\infty, t_0)$ = 2,3 ($t_0$ = 14 gün, $h_0$ = 200 mm)
• Nominal rötre: $\varepsilon_{cs}$ = 0,35 × 10⁻³
• $\mu$ = 0,19, $K$ = 0,007 m⁻¹, $\alpha$ = 0,25 rad (tam açıklık); ankraj kayışı: $\Delta_{set}$ = 8 mm
• Servis yükü momenti: $M_{QP}$ = 450 kN· m (quasi-permanent)
• $\rho_{1000}$ = 2,5% (Sınıf 2), başlangıç gerilme oranı $\mu_{pi}$ = 1395/1860 = 0,75

İstenen: TS EN 1992-1-1:2009 Madde 5.10.6 ile birleşik zamana bağlı kayıp $\Delta P_{c+s+r}$.

Çözüm:

Adım 1 — Sürtünme kaybından sonraki orta gerilme:

$f_{p,mid} = 1395 \cdot e^{-(0{,}19 \times 0{,}25 + 0{,}007 \times 15)} = 1395 \cdot e^{-0{,}1525} = 1395 \times 0{,}859 = 1198 \text{ MPa}$

Adım 2 — Relaksasyon kaybı $\Delta\sigma_{pr}$ (EN 1992-1-1 Md. 3.3.2, Denklem 3.29, $t \to \infty$):

$\Delta\sigma_{pr} = 0{,}66 \times 2{,}5 \times e^{9{,}1 \times 0{,}75} \times \left(\frac{500{.}000}{1000}\right)^{0{,}75(1-0{,}75)} \times 10^{-5} \times 1198 \approx 28{,}6 \text{ MPa}$

Adım 3 — Quasi-permanent yük altında tendon eksenindeki beton gerilmesi ($P_m$ = 1198 × 1680 = 2012,6 kN):

$\sigma_{c,QP} = \frac{2{.}012{.}640}{240{.}000} + \frac{2{.}012{.}640 \times 280^2}{3{,}20 \times 10^{10}} - \frac{450 \times 10^6 \times 280}{3{,}20 \times 10^{10}} = 8{,}39 + 4{,}94 - 3{,}94 = 9{,}39 \text{ MPa}$

Adım 4 — Paydaki geometrik faktörler:

$1 + \frac{E_p A_p}{E_{cm} A_c}\left(1 + \frac{A_c z_{cp}^2}{I_c}\right) = 1 + 0{,}0390 \times 1{,}5880 = 1{,}0619$

Paydaki tam terim: $1{,}0619 \times [1 + 0{,}8 \times 2{,}3] = 1{,}0619 \times 2{,}84 = 3{,}016$

Adım 5 — Birleşik zamana bağlı kayıp (TS EN 1992-1-1:2009 Denklem 5.46):

Pay:

$\varepsilon_{cs} E_p + 0{,}8\Delta\sigma_{pr} + \frac{E_p}{E_{cm}}\varphi\,\sigma_{c,QP}$

$= 0{,}35 \times 10^{-3} \times 195{.}000 + 0{,}8 \times 28{,}6 + \frac{195{.}000}{35{.}000} \times 2{,}3 \times 9{,}39$

$= 68{,}25 + 22{,}88 + 120{,}53 = 211{,}66 \text{ MPa}$

$\Delta P_{c+s+r} = 1680 \times \frac{211{,}66}{3{,}016} = 1680 \times 70{,}17 \approx 117{.}886 \text{ N} \approx 117{,}9 \text{ kN}$

Birim gerilme kaybı: $\Delta f_{c+s+r}$ = 117.886 / 1680 = 70,2 MPa (%5,86)

Sonuç:

• Zamana bağlı birleşik gerilme kaybı = 70,2 MPa (%5,86)
• Rötre payı: 68,25 / 211,66 = %32,2
• Relaksasyon payı: 22,88 / 211,66 = %10,8
• Sünme payı: 120,53 / 211,66 = %57,0

Kontrol: $f_{pe}$ = 1198 − 70,2 = 1127,8 MPa < $0{,}80 f_{py}$ = 1264 MPa — servis koşulu sağlanmaktadır.

6. Türkiye'ye Özgü Uygulama Koşulları

6.1 İlgili Türk Standartları ve Mevzuatı

Tablo 12: İlgili Türk Standartları ve Mevzuatı

6.2 KGM Birim Fiyat Pozları (2025)

Tablo 13: KGM Birim Fiyat Pozları (2025)

Saha Notu: Türkiye'de öngerilmeli çelik maliyeti 2025 yılı itibarıyla ton başına yaklaşık 85.000–110.000 TL aralığında seyretmektedir. Tasarımda toplam kayıp yüzdesinin %5 eksik tahmin edilmesi (örneğin %18 yerine %13), gerekli çelik kesit alanının eksik hesaplanmasına ve yapı performansının hedef değerlerin altında kalmasına yol açar.

6.3 Türkiye Deprem Koşullarında Öngerilme

TBDY 2018 Bölüm 15 kapsamında öngerilmeli elemanlar deprem etkisi altında değerlendirilirken:

• DD-2 deprem düzeyi (P = %10 / 50 yıl) baz alınır.
• Tasarım spektral ivme katsayısı $S_{DS}$ yöreye göre değişir (İzmir için 1,0–1,4g, Ankara için 0,4–0,6g).
• Efektif öngerilme kuvveti, deprem yükü kombinasyonlarında (TBDY 2018 Tablo 4.1) azaltma katsayısı uygulanarak kullanılır.

7. Sık Yapılan Hatalar

Tablo 14: Sık Yapılan Hatalar

Kaynaklar

1. TS EN 1992-1-1:2009 — Beton Yapıların Tasarımı — Bölüm 1-1: Genel Kurallar ve Binalar İçin Kurallar. TSE.
2. TS 3233:1979 — Öngerilmeli Beton Yapıların Hesap ve Yapım Kuralları. Türk Standartları Enstitüsü.
3. TS EN 10138-3:2013 — Öngerilme Çelikleri — Bölüm 3: Strand. TSE.
4. TS EN 13670:2009 — Beton Yapıların İnşaatı. TSE.
5. ACI 318-19 — Building Code Requirements for Structural Concrete, Chapter 26. American Concrete Institute.
6. ACI 423.10R-16 — Guide to Estimating Prestress Losses. American Concrete Institute, 2016.
7. TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği. Çevre ve Şehircilik Bakanlığı.
8. KGM Genel Teknik Şartnamesi, 2020 — Karayolları Köprü Teknik Şartnamesi, Bölüm 710: Öngerilmeli Çelik.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Kiriş Boyutlandırma Hesaplama
• Beton Metrajı Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.