Öngerilmeli Kirişlerde Kesme Tasarımı

Özet

Öngerilmeli beton kirişlerde kesme tasarımı, ön gerilme kuvvetinin oluşturduğu eksenel sıkışma gerilmesi ($\sigma_{cp}$) ve eğimli tendonun düşey bileşeni ($V_{pd}$) sayesinde normal betonarmeden daha avantajlıdır. Türkiye'deki tasarım uygulamaları TS EN 1992-1-1:2014 çerçevesinde yürütülmekte; beton sınıfı, maruziyeti ve çelik özellikleri TS EN 206:2021 ile TS 500:2000 standartlarına atıfla belirlenmektedir. TBDY 2018 kapsamında deprem kombinasyonlarında kesme güvenliği ayrıca doğrulanmalıdır.

1. Giriş

Öngerilmeli beton kirişlerde kesme (kayma) kapasitesi, normal betondan farklı davranış gösterir. Ön gerilme kuvveti; eksenel sıkıştırma bileşeni ile tendon eğiminin düşey bileşeni üzerinden kesme kapasitesini artırır. Tasarım TS EN 1992-1-1:2014 Md. 6.2 hükümlerine göre yürütülür.

Saha Notu: Türkiye'de öngerilmeli köprü kirişlerinin büyük çoğunluğu önçekim (pre-tensioning) yöntemiyle prefabrik olarak üretilmekte, şantiyede kren ile mesnetlere yerleştirilmektedir. Artçekim (post-tensioning) ise yerinde döküm köprüler ve uzun açıklıklı köprü kirişlerinde kullanılır.

Dikkat: Türkiye Kuzey Anadolu Fay Hattı ve çevresindeki deprem bölgelerinde tasarlanan öngerilmeli kirişlerde, TBDY 2018 Bölüm 5 ve Ek 5A kapsamında deprem yük kombinasyonlarında kesme kapasitesi ayrıca doğrulanmalıdır.

2. Temel Semboller

Tablo 1: Notasyon ve Semboller

3. Kesme Çatlağı Türleri ve Davranış

3.1 Gövde Kesme Çatlağı (Web-Shear Crack)

Yüksek kesme–düşük eğilme bölgelerinde, gövdenin nötr eksen düzeyinde asal çekme gerilmelerinin beton çekme dayanımını aşmasıyla oluşur. İnce gövdeli prefabrik I ve T kesitlerde kritiktir. Asal çekme gerilmesi:

$\sigma_1 = \frac{\sigma_x}{2} + \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + \tau^2}$

Burada $\sigma_x$ beton boyuna sıkışma gerilmesi, $\tau$ ise kesme gerilmesidir.

3.2 Eğilme–Kesme Çatlağı (Flexure-Shear Crack)

Mevcut eğilme çatlaklarının, yetersiz kesme kapasitesi altında çapraz yönde büyümesiyle gelişir. Kirişin orta açıklığına yakın yüksek moment bölgelerinde görülür.

Dikkat: Önçekim kirişlerinde tendonun ankraj bölgesindeki gövde çatlağı riski kritik nokta olabilir. TS EN 1992-1-1 Md. 6.2.2(6)'ya göre önçekim kirişlerinde $l_{pt,2}$ (üst sınır iletim uzunluğu) içindeki geçiş bölgesi kesmeleri özel olarak değerlendirilmelidir.

4. Etriysiz Kesme Kapasitesi ($V_{Rd,c}$)

TS EN 1992-1-1:2014 Md. 6.2.2 (öngerilmeli eleman için):

$V_{Rd,c} = \left[C_{Rd,c} \cdot k \cdot (100 \cdot \rho_l \cdot f_{ck})^{1/3} + k_1 \cdot \sigma_{cp}\right] \cdot b_w \cdot d$

Minimum değer: $V_{Rd,c,min} = (v_{min} + k_1 \cdot \sigma_{cp}) \cdot b_w \cdot d$

Parametreler: $k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \leq 2{,}0 \quad (d \text{ mm cinsinden})$

$v_{min} = 0{,}035 \cdot k^{3/2} \cdot f_{ck}^{1/2}$

$\sigma_{cp} = \frac{N_{Ed}}{A_c} \leq 0{,}2\,f_{cd} \quad \text{(N/mm²)}$

$\rho_l = \frac{A_{sl}}{b_w \cdot d} \leq 0{,}02$

Katsayılar: $C_{Rd,c} = 0{,}18/\gamma_C = 0{,}12$, $k_1 = 0{,}15$.

Tablo 2: Etriysiz Kesme Kapasitesi ()

Saha Notu: KGM Karayolu Teknik Şartnamesi Poz KGM/16.137/K-H, öngerilmeli köprü kiriş betonu için C40/50 (ISO sınıfı) zorunlu kılmaktadır. İç Anadolu'da don derinliğinin 80–120 cm'e ulaştığı bölgelerde XF3 maruziyeti ve hava sürükleyici katkı (≥%4 hava boşluğu) şarttır.

5. Etriye ile Kesme Kapasitesi (Kafes Analojisi)

5.1 Değişken Açılı Kafes Modeli

TS EN 1992-1-1:2014 Md. 6.2.3 değişken açılı (variable strut inclination) kafes modelini kullanır.

Etriye katkısı: $V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} \cdot z \cdot f_{ywd} \cdot \cot\theta$

Basınç çubuğu sınırı: $V_{Rd,max} = \alpha_{cw} \cdot b_w \cdot z \cdot \nu_1 \cdot f_{cd} \cdot \frac{\cot\theta}{1 + \cot^2\theta}$

Burada:

• $z \approx 0{,}9d$ = kuvvet kolu (mm)
• $f_{ywd} = f_{yk}/\gamma_s$; B500C çelik için = 500/1,15 = 435 N/mm²
• $\nu_1 = 0{,}6(1 - f_{ck}/250)$ = çatlamış betonda etkinlik katsayısı
• $\alpha_{cw}$ = eksenel gerilme katsayısı; öngerilmeli beton için $\alpha_{cw} > 1$:

$\alpha_{cw} = 1 + \frac{\sigma_{cp}}{f_{cd}} \quad (0 < \sigma_{cp} \leq 0{,}25\,f_{cd})$

$\alpha_{cw} = 1{,}25 \quad (0{,}25\,f_{cd} < \sigma_{cp} \leq 0{,}5\,f_{cd})$

Basınç çubuğu açısı sınırı (TS EN 1992-1-1:2014 Md. 6.2.3(2)): $1 \leq \cot\theta \leq 2{,}5 \quad \Rightarrow \quad 21{,}8° \leq \theta \leq 45°$

Tablo 3: Değişken Açılı Kafes Modeli

5.2 Tendon Düşey Katkısı

Eğimli tendonda düşey kuvvet bileşeni: $V_{pd} = P_{m\infty} \cdot \sin\alpha_p$

Tasarım kesme kuvvetinden düşülür: $V_{Ed,net} = V_{Ed} - V_{pd}$

Dikkat: Tendonun düşey katkısı $V_{pd}$ yalnızca kirişin uç bölgelerinde (mesnet yakını) gerçek tendon eğimi pozitifse (yukarı doğru → kesmeyi azaltma) kullanılabilir. Orta açıklıkta tendon eğimi sıfıra yaklaşır. Yanlış $V_{pd}$ uygulaması, tehlikeli ölçüde yetersiz kesme donatısına yol açar.

6. Minimum Etriye Donatısı ve Detay Kuralları

TS EN 1992-1-1:2014 Md. 9.2.2: $\frac{A_{sw,min}}{s \cdot b_w} = \frac{0{,}08 \sqrt{f_{ck}}}{f_{yk}}$

Maksimum etriye aralığı (Md. 9.2.2(6)): $s_{l,max} = 0{,}75 \cdot d \cdot (1 + \cot\alpha)$

Dikey etriyeler için: $s_{l,max} = 0{,}75d$.

Enine aralık sınırı (Md. 9.2.2(8)): $s_{t,max} = \min(0{,}75d,\ 600\text{ mm})$

Tablo 4: Minimum Etriye Donatısı ve Detay Kuralları

7. Kesme Bölgesi Sınıflandırması

TS EN 1992-1-1kesme davranışını iki bölgeye ayırır:

Bölge 1 – Etriysiz (Yeterli Beton Katkısı): $V_{Ed} \leq V_{Rd,c}$ ise etriye hesap gereksizdir; yalnızca minimum etriye uygulanır.

Bölge 2 – Etriye Gerekli: $V_{Ed} > V_{Rd,c}$ ise $V_{Rd,s}$ hesaplanır: $V_{Rd,s} + V_{ccd} + V_{td} \geq V_{Ed}$

Tasarım akışı:

1. $V_{Rd,c}$ hesapla → etriye gerekli mi?
2. $V_{Ed} \leq V_{Rd,max}$ kontrolü → beton ezilmesi var mı? Yoksa kesit büyütülmeli.
3. $\cot\theta$ seç → $V_{Rd,max}$ koşulunu sağlayan en büyük değer.
4. $A_{sw}/s$ hesapla → $\rho_{w,min}$ ve $s_{max}$ kontrolleri.

Tablo 5: Kesme Bölgesi Sınıflandırması

8. Öngerilme Kayıpları ve Kesme Tasarımına Etkisi

$\sigma_{cp}$ değeri, efektif (uzun vadeli) ön gerilme kuvveti $P_{m\infty}$ üzerinden hesaplanır.

Ani kayıplar (TS EN 1992-1-1:2014 Md. 5.10.4):

• Elastik kısalma kayıpları (önçekimde; artçekimde ihmal edilebilir)
• Sürtünme kayıpları (µ, k parametreleri) — artçekim kirişlerinde kritik
• Ankraj sıyrılması

Uzun vadeli kayıplar (Md. 5.10.6):

• Beton sünmesi (creep): $\varphi(\infty,t_0)$ = Türkiye nem koşullarında RH=%50–60 için ~1,8–2,5
• Beton büzülmesi (shrinkage): $\varepsilon_{cs} \approx 0{,}3\text{–}0{,}5 \times 10^{-3}$
• Çelik relaksasyonu: Sınıf 2 (düşük relaksasyon) için %2–3 kayıp

Toplam kayıp oranı: Önçekim kirişlerinde %15–25; artçekim kirişlerinde %10–20.

Dikkat: $\sigma_{cp}$ hesabında başlangıç $P_0$ yerine efektif $P_{m\infty}$ kullanılmalıdır. Kayıp oranı küçümsenmesi, $V_{Rd,c}$'nin olduğundan yüksek hesaplanmasına yol açar.

9. Kesme-Burulma Etkileşimi

Hem kesme hem burulma etkisi varsa TS EN 1992-1-1:2014 Md. 6.3 kapsamında etkileşim kontrolü yapılır:

$\left(\frac{T_{Ed}}{T_{Rd,max}}\right)^2 + \left(\frac{V_{Ed}}{V_{Rd,max}}\right)^2 \leq 1{,}0$

Kapalı etriye ile boyuna donatı etkileşimi: $\frac{T_{Ed}}{T_{Rd,s}} + \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \leq 1{,}0$

Burulma dayanımı: $T_{Rd,max} = 2 \cdot \nu \cdot \alpha_1 \cdot f_{cd} \cdot A_k \cdot t_{ef,i} \cdot \sin\theta\cos\theta$

Tablo 6: Kesme-Burulma Etkileşimi

10. Hesap Örneği

Veri:

• $V_{Ed}$ = 580 kN; $b_w$ = 300 mm, d = 700 mm, z = 630 mm
• $f_{ck}$ = 35 N/mm², $f_{cd}$ = 23,3 N/mm²
• $\sigma_{cp}$ = 3,0 N/mm² (ön gerilmeden)
• Etriye: Ø10 çift kollu, $A_{sw}$ = 2 × 78,5 = 157 mm²; $f_{ywd}$ = 435 N/mm²

Adım 1: Etriysiz kapasite

$k = 1 + \sqrt{200/700} = 1{,}534$

$V_{Rd,c} \approx [0{,}12 \times 1{,}534 \times (100 \times 0{,}005 \times 35)^{1/3} + 0{,}15 \times 3{,}0] \times 300 \times 700 \times 10^{-3} \approx 141\text{ kN}$

$V_{Ed}$ = 580 > 141 kN → Etriye gerekli.

Adım 2: $\cot\theta$ seçimi

$\alpha_{cw} = 1 + 3{,}0/23{,}3 = 1{,}129 \qquad \nu_1 = 0{,}6(1 - 35/250) = 0{,}516$

$\cot\theta = 2{,}5$ için: $V_{Rd,max} = 1{,}129 \times 300 \times 630 \times 0{,}516 \times 23{,}3 \times \frac{2{,}5}{7{,}25} \times 10^{-3} \approx 888\text{ kN} > 580\text{ kN} \quad \checkmark$

Adım 3: Etriye aralığı

$s = \frac{A_{sw} \cdot z \cdot f_{ywd} \cdot \cot\theta}{V_{Ed}} = \frac{157 \times 630 \times 435 \times 2{,}5}{580 \times 10^3} \approx 147\text{ mm}$

Kullan: Ø10/140 çift kollu etriye → $s_{max} = 0{,}75 \times 700 = 525\text{ mm} > 140\text{ mm}$ ✓

Adım 4: $\rho_{w,min}$ kontrolü

$\rho_{w,min} = \frac{0{,}08\sqrt{35}}{500} = 9{,}46 \times 10^{-4} \qquad \rho_w = \frac{157}{140 \times 300} = 3{,}74 \times 10^{-3} > 9{,}46 \times 10^{-4} \quad \checkmark$

11. Örnek Problemler

Problem 1 — Kolay

Veriler:

• $b_w$ = 250 mm, d = 500 mm; $f_{ck}$ = 30 N/mm², $\gamma_C$ = 1,5
• Boyuna donatı oranı $\rho_l$ = 0,008; Ön gerilme eksenel basıncı $\sigma_{cp}$ = 2,5 N/mm²
• $V_{Ed}$ = 180 kN

Çözüm:

Adım 1 — k katsayısı: $k = 1 + \sqrt{\frac{200}{500}} = 1 + 0{,}632 = 1{,}632 \leq 2{,}0 \quad \checkmark$

Adım 2 — $v_{min}$: $v_{min} = 0{,}035 \times 1{,}632^{3/2} \times 30^{1/2} = 0{,}035 \times 2{,}085 \times 5{,}477 = 0{,}400\text{ N/mm}^2$

Adım 3 — $V_{Rd,c}$: $V_{Rd,c} = \left[0{,}12 \times 1{,}632 \times (100 \times 0{,}008 \times 30)^{1/3} + 0{,}15 \times 2{,}5\right] \times 250 \times 500 \times 10^{-3}$ $= \left[0{,}282 + 0{,}375\right] \times 125 = 82{,}1\text{ kN}$

$V_{Rd,c,min} = (0{,}400 + 0{,}15 \times 2{,}5) \times 125 = 96{,}9\text{ kN}$

$V_{Rd,c} = \max(82{,}1,\; 96{,}9) = \mathbf{96{,}9\text{ kN}}$

Adım 4 — Karar:

$V_{Ed}$ = 180 kN > 96,9 kN → Kesme donatısı GEREKLİDİR.

Kontrol: $\sigma_{cp} \leq 0{,}2 \times f_{cd} = 0{,}2 \times 20 = 4{,}0\text{ N/mm}^2$ → 2,5 ≤ 4,0 ✓

Problem 2 — Orta

Veriler:

• Prefabrik I-kesitli öngerilmeli köprü kirişi: $b_w$ = 200 mm, d = 720 mm, z = 650 mm
• $f_{ck}$ = 40 N/mm² (C40/50), $f_{cd}$ = 26,7 N/mm²; $f_{ywd}$ = 435 N/mm²
• $\sigma_{cp}$ = 4,5 N/mm²; $V_{Ed}$ = 650 kN

Çözüm:

Adım 1 — $V_{Rd,c}$: $k = 1 + \sqrt{200/720} = 1{,}527$ $V_{Rd,c} = [0{,}12 \times 1{,}527 \times (100 \times 0{,}010 \times 40)^{1/3} + 0{,}15 \times 4{,}5] \times 200 \times 720 \times 10^{-3} = [0{,}291 + 0{,}675] \times 144 = 139\text{ kN}$

$V_{Ed}$ = 650 kN > 139 kN → Etriye gerekli.

Adım 2 — $\alpha_{cw}$ ve $\nu_1$: $\alpha_{cw} = 1 + 4{,}5/26{,}7 = 1{,}169 \qquad \nu_1 = 0{,}6(1 - 40/250) = 0{,}504$

Adım 3 — $V_{Rd,max}$ ($\cot\theta$ = 2,5): $V_{Rd,max} = 1{,}169 \times 200 \times 650 \times 0{,}504 \times 26{,}7 \times \frac{2{,}5}{7{,}25} \times 10^{-3} \approx 746\text{ kN} > 650\text{ kN} \quad \checkmark$

Adım 4 — $A_{sw}/s$: $\frac{A_{sw}}{s} = \frac{650 \times 10^3}{650 \times 435 \times 2{,}5} = 0{,}920\text{ mm}^2/\text{mm}$

Adım 5 — Ø12 çift kol ($A_{sw}$ = 2 × 113,1 = 226,2 mm²): $s = 226{,}2 / 0{,}920 = 246\text{ mm} \quad s_{max} = 0{,}75 \times 720 = 540\text{ mm} > 246\text{ mm} \quad \checkmark$

$\rho_w = \frac{226{,}2}{246 \times 200} = 4{,}60 \times 10^{-3} > \rho_{w,min} = 1{,}01 \times 10^{-3} \quad \checkmark$

Sonuç: Ø12 çift kol @ 240 mm aralıkla ($A_{sw}/s$ = 0,942 mm²/mm ≥ 0,920 ✓).

Problem 3 — İleri Düzey

Veriler — Sürekli köprü kutulu kirişi (kesme + burulma etkileşimi):

• $b_w$ = 250 mm (her iki gövde), d = 900 mm, z = 810 mm
• $A_k$ = 180.000 mm², $t_{ef,i}$ = 80 mm
• $f_{ck}$ = 45 N/mm², $f_{cd}$ = 30,0 N/mm²; $f_{ywd}$ = 435 N/mm²
• $\sigma_{cp}$ = 5,0 N/mm²; $\alpha_{cw}$ = 1 + 5,0/30,0 = 1,167; $\nu_1$ = 0,492
• $V_{Ed}$ = 900 kN; $T_{Ed}$ = 180 kN· m

Çözüm:

Adım A — $V_{Rd,max}$ ($\cot\theta$ = 2,5): $V_{Rd,max} = 1{,}167 \times 250 \times 810 \times 0{,}492 \times 30{,}0 \times \frac{2{,}5}{7{,}25} \times 10^{-3} = 1149\text{ kN}$

Adım B — $T_{Rd,max}$ ($\theta$ = 21,8°): $T_{Rd,max} = 2 \times 0{,}492 \times 30{,}0 \times 180{.}000 \times 80 \times 0{,}371 \times 0{,}929 \times 10^{-6} \approx 463\text{ kN\cdot m}$

Adım C — Etkileşim kontrolü: $\left(\frac{180}{463}\right)^2 + \left(\frac{900}{1149}\right)^2 = 0{,}151 + 0{,}613 = 0{,}764 \leq 1{,}0 \quad \checkmark$

Adım D — Kesme için $A_{sw}/s$: $\frac{A_{sw,V}}{s} = \frac{900 \times 10^3}{810 \times 435 \times 2{,}5} = 1{,}022\text{ mm}^2/\text{mm}$

Adım E — Burulma için $A_{sw}/s$: $\frac{A_{sw,T}}{s} = \frac{180 \times 10^6}{2 \times 180{.}000 \times 435 \times 2{,}5} = 0{,}460\text{ mm}^2/\text{mm}$

Adım F — Toplam + etriye seçimi (tek gövde):

$\frac{A_{sw,toplam}}{s} = 1{,}022 + 0{,}460 = 1{,}482\text{ mm}^2/\text{mm}$ → tek gövde: 0,741 mm²/mm

Ø12 çift kol ($A_{sw}$ = 226,2 mm²): $s = 226{,}2/0{,}741 = 305\text{ mm}$

$s_{max} = 0{,}75 \times 900 = 675\text{ mm} > 305\text{ mm}$ ✓

Sonuç: Her iki gövde için Ø12 çift kol @ 300 mm. Etkileşim 0,764 ≤ 1,0 ✓

12. Sık Yapılan Hatalar

1. $\sigma_{cp}$ için $P_0$ kullanmak: Kesme hesabında $P_{m\infty}$ (uzun vadeli efektif değer) kullanılmalıdır. $P_0$ ile hesaplanan $\sigma_{cp}$, $V_{Rd,c}$'yi olduğundan fazla verir.
2. $V_{pd}$ uygulamasında tendon eğimi yanlış işaretleme: Orta açıklıkta tendon eğimi sıfıra yakındır; mesnet bölgesinde eğim + ise kesmeyi azaltır, − ise artırır.
3. $\rho_l$ hesabında flanş genişliği kullanmak: $V_{Rd,c}$ formülünde $\rho_l = A_{sl}/(b_w \cdot d)$ olup gövde genişliği $b_w$ kullanılır.
4. $\cot\theta > 2{,}5$ seçmek: TS EN 1992-1-1:2014 Md. 6.2.3(2) açıkça $1 \leq \cot\theta \leq 2{,}5$ sınırını koymuştur.
5. Minimum etriye kuralını atlamak: $V_{Ed} \leq V_{Rd,c}$ bölgelerinde de $\rho_{w,min}$ karşılanmalıdır.
6. Deprem kombinasyonlarını ihmal etmek: TBDY 2018 kapsamında deprem yük kombinasyonlarında (E1, E2) kesme kapasitesi ayrıca doğrulanmalıdır.

Kaynaklar

1. fib (2010). fib Bulletin No. 57: Shear and Punching Shear in RC and PC Beams. Lausanne.
2. Walraven, J.C. (2015). Prestressed concrete beams. In: Structural Concrete. Taylor & Francis.
3. TS EN 1992-1-1 (2014). Eurocode 2: Beton Yapıların Tasarımı – Bölüm 1-1. TSE, Ankara.
4. Nawy, E.G. (2010). Prestressed Concrete: A Fundamental Approach (5. baskı). Pearson Prentice Hall.
5. Collins, M.P. ve Mitchell, D. (1991). Prestressed Concrete Structures. Prentice-Hall.
6. Martin, L.H. & Purkiss, J.A. (2006). Concrete Design to EN 1992 (2. baskı). Butterworth-Heinemann.
7. Broo, H. (2008). Shear and Torsion in Concrete Structures (Doktora Tezi). Chalmers University of Technology.
8. KGM (2013). Karayolu Teknik Şartnamesi. Karayolları Genel Müdürlüğü, Ankara.
9. TS EN 206 (2021). Beton – Özellik, Performans, Üretim ve Uygunluk. TSE, Ankara.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Kiriş Boyutlandırma Hesaplama
• Kiriş Donatısı Hesaplama
• Etriye Donatısı Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.