Öngerilmeli Kirişlerde Kesme Tasarımı

Özet

Öngerilmeli kirişlerde kesme hesabı; beton katkısı, etriye dayanımı ve basınç çubuğu sınırının kontrolüne dayanır. Bu yazıda Eurocode 2 yaklaşımıyla eğitsel hesap örnekleri verilmektedir. Ön gerilme kuvveti ve tendon eğimi, incelenen kesitteki etkileriyle hesaba katılır. Köprüler TBDY 2018 Madde 1.1.7 uyarınca bu yönetmeliğin kapsamı dışındadır.

1. Giriş

Öngerilme, kirişte eksenel basınç ve tendon geometrisine bağlı kuvvetler oluşturur. Kesme tasarımında betonun çatlama durumu, kesme donatısı ve beton basınç çubuğu sınırı birlikte değerlendirilir. Aşağıdaki yöntemler Eurocode 2 kesme hesabını açıklamak için kullanılmıştır.

Saha Notu: Türkiye'de öngerilmeli köprü kirişlerinin büyük çoğunluğu önçekim (pre-tensioning) yöntemiyle prefabrik olarak üretilmekte, şantiyede kren ile mesnetlere yerleştirilmektedir. Artçekim (post-tensioning) ise yerinde döküm köprüler ve uzun açıklıklı köprü kirişlerinde kullanılır.

Dikkat: TBDY 2018 Madde 1.1.7, köprüleri yönetmelik kapsamı dışında bırakır. Köprü kirişleri için deprem hesabında köprüye uygulanabilir tasarım kuralları esas alınır.

2. Temel Semboller

3. Kesme Çatlağı Türleri ve Davranış

3.1 Gövde Kesme Çatlağı (Web-Shear Crack)

Yüksek kesme–düşük eğilme bölgelerinde, gövdenin nötr eksen düzeyinde asal çekme gerilmelerinin beton çekme dayanımını aşmasıyla oluşur. İnce gövdeli prefabrik I ve T kesitlerde kritiktir. Asal çekme gerilmesi:

$${\sigma }_1=-\frac{{\sigma }_x}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x}{2}\right)}^2+{\tau }^2}$$

Burada ${\sigma }_x$ pozitif alınan beton boyuna basınç gerilmesidir; $\tau$ kesme gerilmesidir. Enine normal gerilme sıfır kabul edilmiştir.

3.2 Eğilme–Kesme Çatlağı (Flexure-Shear Crack)

Mevcut eğilme çatlaklarının, yetersiz kesme kapasitesi altında çapraz yönde büyümesiyle gelişir. Kirişin orta açıklığına yakın yüksek moment bölgelerinde görülür.

Dikkat: Önçekimli kirişin uç bölgesinde ön gerilme betona iletim uzunluğu boyunca aktarılır. Eğilmede çatlamamış bölgelerin kesme hesabında bu etki ${\alpha }_l=\min (l_x/l_{pt,2},1)$ ile dikkate alınır; $l_x$ iletim başlangıcından kesite uzaklık, $l_{pt,2}$ üst sınır iletim uzunluğudur.

4. Etriysiz Kesme Kapasitesi ($V_{Rd,c}$)

Aşağıdaki ifade eğilmede çatlamış bölgelerin kesme hesabını açıklar. Öngerilmeli tek açıklıklı elemanların eğilmede çatlamamış bölgelerinde beton çekme dayanımına bağlı ayrı kontrol kullanılır:

$$V_{Rd,c}=\left[C_{Rd,c}\cdot k\cdot (100\cdot {\rho }_l\cdot f_{ck}{)}^{1/3}+k_1\cdot {\sigma }_{cp}\right]\cdot b_w\cdot d$$

Minimum değer: $V_{Rd,c,min}=(v_{min}+k_1\cdot {\sigma }_{cp})\cdot b_w\cdot d$

Parametreler: $k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}\le 2,0(d\text{ mm cinsinden})$

$$v_{min}=0,035\cdot k^{3/2}\cdot f_{ck}^{1/2}$$ $${\sigma }_{cp}=\frac{N_{Ed}}{A_c}\le 0,2f_{cd}{\text{(N/mm}}^2\text{)}$$ $${\rho }_l=\frac{A_{sl}}{b_w\cdot d}\le 0,02$$

Katsayılar: $C_{Rd,c}=0,18/{\gamma }_C=0,12$, $k_1=0,15$.

Saha Notu: KGM 2026 Birim Fiyat Listesi’nde KGM/16.137/K-H pozu, köprülerin öngerilmeli boyuna ve enine kirişlerinde C40/50 hazır beton harcıyla demirli beton imalatını tanımlar. Bu poz bir imalat tarifidir; tek başına bütün köprüler için don derinliği, XF maruziyet sınıfı veya hava miktarı şartı belirlemez.

5. Etriye ile Kesme Kapasitesi (Kafes Analojisi)

5.1 Değişken Açılı Kafes Modeli

TS EN 1992-1-1:2014 Md. 6.2.3 değişken açılı (variable strut inclination) kafes modelini kullanır.

Etriye katkısı: $V_{Rd,s}=\frac{A_{sw}}{s}\cdot z\cdot f_{ywd}\cdot \cot \theta$

Basınç çubuğu sınırı: $V_{Rd,max}={\alpha }_{cw}\cdot b_w\cdot z\cdot {\nu }_1\cdot f_{cd}\cdot \frac{\cot \theta }{1+{\cot }^2\theta }$

Burada:

• $z\approx 0,9d$ = kuvvet kolu (mm)
• $f_{ywd}=f_{yk}/{\gamma }_s$; B500C çelik için = 500/1,15 = 435 N/mm²
• ${\nu }_1=0,6(1-f_{ck}/250)$ = çatlamış betonda etkinlik katsayısı
• ${\alpha }_{cw}$, basınç başlığındaki gerilme durumuna bağlıdır. Aşağıdaki ifadeler Concise Eurocode 2 for Bridges §9.2'deki basınç gerilmesi aralıkları içindir; öngerilmeli her kesitte 1'den büyük olduğu varsayılmaz.

${\alpha }_{cw}=1+\frac{{\sigma }_{cp}}{f_{cd}}(0<{\sigma }_{cp}\le 0,25f_{cd})$ ${\alpha }_{cw}=1,25(0,25f_{cd}<{\sigma }_{cp}\le 0,5f_{cd})$ ${\alpha }_{cw}=2,5\left(1-\frac{{\sigma }_{cp}}{f_{cd}}\right)(0,5f_{cd}<{\sigma }_{cp}<f_{cd})$

Basınç çubuğu açısı için önerilen aralık (uygulanan ulusal ekin sınırları ayrıca kontrol edilir): $1\le \cot \theta \le 2,5\Rightarrow 21,8°\le \theta \le 45°$

5.2 Tendon Düşey Katkısı

Eğimli tendonda düşey kuvvet bileşeni: $V_{pd}=P_{m\infty }\cdot \sin {\alpha }_p$

Tasarım kesme kuvvetinden düşülür: $V_{Ed,net}=V_{Ed}-V_{pd}$

Dikkat: Tendonun düşey katkısı $V_{pd}$ yalnızca kirişin uç bölgelerinde (mesnet yakını) gerçek tendon eğimi pozitifse (yukarı doğru → kesmeyi azaltma) kullanılabilir. Orta açıklıkta tendon eğimi sıfıra yaklaşır. Yanlış $V_{pd}$ uygulaması, tehlikeli ölçüde yetersiz kesme donatısına yol açar.

6. Minimum Etriye Donatısı ve Detay Kuralları

TS EN 1992-1-1:2014 Md. 9.2.2: $\frac{A_{sw,min}}{s\cdot b_w}=\frac{0,08\sqrt{f_{ck}}}{f_{yk}}$

Maksimum etriye aralığı (Md. 9.2.2(6)): $s_{l,max}=0,75\cdot d\cdot (1+\cot \alpha )$

Dikey etriyeler için: $s_{l,max}=0,75d$.

Enine aralık sınırı (Md. 9.2.2(8)): $s_{t,max}=\min (0,75d,600\text{ mm})$

7. Kesme Bölgesi Sınıflandırması

TS EN 1992-1-1kesme davranışını iki bölgeye ayırır:

Bölge 1 – Etriysiz (Yeterli Beton Katkısı): $V_{Ed}\le V_{Rd,c}$ ise bu kiriş hesabında hesap kesme donatısı gerekmez; minimum kesme donatısı koşulu kontrol edilir.

Bölge 2 – Etriye Gerekli: $V_{Ed}>V_{Rd,c}$ ise $V_{Rd,s}$ hesaplanır: $V_{Rd,s}+V_{ccd}+V_{td}\ge V_{Ed}$

Tasarım akışı:

1. $V_{Rd,c}$ hesapla → etriye gerekli mi?
2. $V_{Ed}\le V_{Rd,max}$ kontrolü → koşul sağlanıyorsa basınç çubuğu yeterlidir; sağlanmıyorsa $\theta$ seçimi ve kesit boyutları yeniden değerlendirilir.
3. $\cot \theta$ seç → $V_{Rd,max}$ koşulunu sağlayan en büyük değer.
4. $A_{sw}/s$ hesapla → ${\rho }_{w,min}$ ve $s_{max}$ kontrolleri.

8. Öngerilme Kayıpları ve Kesme Tasarımına Etkisi

${\sigma }_{cp}$, incelenen kesitte ve hesap aşamasında etkili olan ön gerilme ile diğer eksenel kuvvetler dikkate alınarak bulunur. $P_m(x,t)$, konuma ve zamana bağlı etkin ön gerilme kuvvetini gösterir; $P_{m\infty }$ bunun uzun vadeli değeridir.

Ani kayıplar (TS EN 1992-1-1:2014 Md. 5.10.4):

• Elastik kısalma kayıpları (önçekimde; artçekimde ihmal edilebilir)
• Sürtünme kayıpları (µ, k parametreleri) — artçekim kirişlerinde kritik
• Ankraj sıyrılması

Uzun vadeli kayıplar (Md. 5.10.6):

• Beton sünmesi (creep): $\phi (\infty ,t_0)$ = Türkiye nem koşullarında RH=%50–60 için ~1,8–2,5
• Beton büzülmesi (shrinkage): ${\epsilon }_{cs}\approx 0,3\text{–}0,5\times 10^{-3}$
• Çelik relaksasyonu: Sınıf 2 (düşük relaksasyon) için %2–3 kayıp

Toplam kayıp oranı: Önçekim kirişlerinde %15–25; artçekim kirişlerinde %10–20.

Dikkat: Aktarma, taşıma, montaj ve kullanım aşamalarının yükleri ile ön gerilme kayıpları ayrı değerlendirilir. Bir aşamadaki kuvveti başka bir aşamanın beton dayanımı veya yükleriyle birleştirmek hatalı kapasite sonucuna yol açabilir.

9. Kesme-Burulma Etkileşimi

Kesme ve burulma aynı basınç çubuğu açısıyla birlikte değerlendirilir. Aşağıdaki kontrol, Concise Eurocode 2 for Bridges §9.3'te açıklanan eşdeğer ince cidarlı kesit modeline dayanır.

Dolu kesitte basınç çubuğu kontrolü: $\frac{T_{Ed}}{T_{Rd,max}}+\frac{V_{Ed}}{V_{Rd,max}}\le 1,0$

Kutu kesitte kontrol: Her duvar, kesme kuvveti ve burulmanın o duvarda oluşturduğu kuvvetlerin birleşimi için ayrı ayrı kontrol edilir. Burulma kayma akısı $q_T=T_{Ed}/(2A_k)$ olup iki gövdedeki katkıları ters yönlüdür. Düşey kesmeden gelen duvar kuvvetleriyle işaretleri dikkate alınarak birleştirilir; dolu kesitteki tek toplam kontrolü kutu kesitin duvar kontrollerinin yerine geçmez.

Eşdeğer ince cidarlı modelde burulma basınç çubuğu sınırı: $T_{Rd,max}=2\nu {\alpha }_{cw}{f}_{cd}{A}_k{t}_{ef,i}\sin \theta \cos \theta$

Burada $A_k$, duvar orta çizgilerinin çevrelediği alan; $t_{ef,i}$, kontrol edilen duvarın etkin kalınlığıdır. Kesme ve burulma için gereken enine donatı, duvar bazında birleştirilir. Burulma ayrıca çevreye dağıtılmış boyuna donatı gerektirir; yalnız kapalı etriye alanını toplamak tüm burulma kontrollerini tamamlamaz.

Bu sayısal oranlar öğretim örneğidir; kutu kesit hesabını temsil etmez.

10. Hesap Örneği

Veri:

• $V_{Ed}$ = 580 kN; $b_w$ = 300 mm, d = 700 mm, z = 630 mm
• $f_{ck}$ = 35 N/mm², $f_{cd}$ = 23,3 N/mm²
• ${\sigma }_{cp}$ = 3,0 N/mm² (ön gerilmeden)
• Etriye: Ø10 çift kollu, $A_{sw}$ = 2 × 78,5 = 157 mm²; $f_{ywd}$ = 435 N/mm²

Adım 1: Etriysiz kapasite

$$k=1+\sqrt{200/700}=1,534$$ $$V_{Rd,c}\approx [0,12\times 1,534\times (100\times 0,005\times 35{)}^{1/3}+0,15\times 3,0]\times 300\times 700\times 10^{-3}\approx 195\text{ kN}$$

$V_{Ed}$ = 580 > 195 kN → Etriye gerekli.

Adım 2: $\cot \theta$ seçimi

$${\alpha }_{cw}=1+3,0/23,3=1,129{\nu }_1=0,6(1-35/250)=0,516$$

$\cot \theta =2,5$ için: $V_{Rd,max}=1,129\times 300\times 630\times 0,516\times 23,3\times \frac{2,5}{7,25}\times 10^{-3}\approx 885\text{ kN}>580\text{ kN}✓$

Adım 3: Etriye aralığı

$$s=\frac{A_{sw}\cdot z\cdot f_{ywd}\cdot \cot \theta }{V_{Ed}}=\frac{157\times 630\times 435\times 2,5}{580\times 10^3}\approx 185,5\text{ mm}$$

Kullan: Ø10/140 çift kollu etriye → $s_{max}=0,75\times 700=525\text{ mm}>140\text{ mm}$ ✓

Adım 4: ${\rho }_{w,min}$ kontrolü

$${\rho }_{w,min}=\frac{0,08\sqrt{35}}{500}=9,46\times 10^{-4}{\rho }_w=\frac{157}{140\times 300}=3,74\times 10^{-3}>9,46\times 10^{-4}✓$$

11. Örnek Problemler

Problem 1 — Kolay

Veriler:

• $b_w$ = 250 mm, d = 500 mm; $f_{ck}$ = 30 N/mm², ${\gamma }_C$ = 1,5
• Boyuna donatı oranı ${\rho }_l$ = 0,008; Ön gerilme eksenel basıncı ${\sigma }_{cp}$ = 2,5 N/mm²
• $V_{Ed}$ = 180 kN

Çözüm:

Adım 1 — k katsayısı: $k=1+\sqrt{\frac{200}{500}}=1+0,632=1,632\le 2,0✓$

Adım 2 — $v_{min}$: $v_{min}=0,035\times 1,632^{3/2}\times 30^{1/2}=0,035\times 2,085\times 5,477=0,400{\text{ N/mm}}^2$

Adım 3 — $V_{Rd,c}$: $V_{Rd,c}=\left[0,12\times 1,632\times (100\times 0,008\times 30{)}^{1/3}+0,15\times 2,5\right]\times 250\times 500\times 10^{-3}$ $=\left[0,565+0,375\right]\times 125=117,5\text{ kN}$

$$V_{Rd,c,min}=(0,400+0,15\times 2,5)\times 125=96,9\text{ kN}$$ $$V_{Rd,c}=\max (117,5,96,9)=117,5\text{ kN}$$

Adım 4 — Karar:

$V_{Ed}$ = 180 kN > 117,5 kN → Kesme donatısı GEREKLİDİR.

Kontrol: ${\sigma }_{cp}\le 0,2\times f_{cd}=0,2\times 20=4,0{\text{ N/mm}}^2$ → 2,5 ≤ 4,0 ✓

Problem 2 — Orta

Veriler:

• Eğitsel örnek için seçilen prefabrik I-kesitli öngerilmeli köprü kirişi: $b_w$ = 200 mm, d = 720 mm, z = 650 mm
• $f_{ck}$ = 40 N/mm² (C40/50), $f_{cd}$ = 26,7 N/mm²; $f_{ywd}$ = 435 N/mm²
• ${\sigma }_{cp}$ = 4,5 N/mm²; $V_{Ed}$ = 650 kN

Çözüm:

Adım 1 — $V_{Rd,c}$: $k=1+\sqrt{200/720}=1,527$ $V_{Rd,c}=[0,12\times 1,527\times (100\times 0,010\times 40{)}^{1/3}+0,15\times 4,5]\times 200\times 720\times 10^{-3}=[0,627+0,675]\times 144=187,4\text{ kN}$

$V_{Ed}$ = 650 kN > 187,4 kN → Etriye gerekli.

Adım 2 — ${\alpha }_{cw}$ ve ${\nu }_1$: ${\alpha }_{cw}=1+4,5/26,7=1,169{\nu }_1=0,6(1-40/250)=0,504$

Adım 3 — $V_{Rd,max}$ ($\cot \theta$ = 2,5): $V_{Rd,max}=1,169\times 200\times 650\times 0,504\times 26,7\times \frac{2,5}{7,25}\times 10^{-3}\approx 705\text{ kN}>650\text{ kN}✓$

Adım 4 — $A_{sw}/s$: $\frac{A_{sw}}{s}=\frac{650\times 10^3}{650\times 435\times 2,5}=0,920{\text{ mm}}^2/\text{mm}$

Adım 5 — Ø12 çift kol ($A_{sw}$ = 2 × 113,1 = 226,2 mm²): $s=226,2/0,920=246\text{ mm}{s}_{max}=0,75\times 720=540\text{ mm}>246\text{ mm}✓$

$${\rho }_w=\frac{226,2}{246\times 200}=4,60\times 10^{-3}>{\rho }_{w,min}=1,01\times 10^{-3}✓$$

Sonuç: Ø12 çift kol @ 240 mm aralıkla ($A_{sw}/s$ = 0,942 mm²/mm ≥ 0,920 ✓).

Problem 3 — İleri Düzey

Veriler — Kutu köprü kirişi için eğitsel kapasite kontrolü:

• Her bir gövdede $b_w$ = 250 mm; d = 900 mm, z = 810 mm
• $A_k$ = 180.000 mm², $t_{ef,i}$ = 80 mm
• $f_{ck}$ = 45 N/mm², $f_{cd}$ = 30,0 N/mm²; $f_{ywd}$ = 435 N/mm²
• ${\sigma }_{cp}$ = 5,0 N/mm²; ${\alpha }_{cw}$ = 1 + 5,0/30,0 = 1,1667; $\nu$ = 0,492
• $V_{Ed}$ = 900 kN; $T_{Ed}$ = 180 kN·m; $\cot \theta$ = 2,5

Çözüm:

Adım A — Tek gövdenin kesme basınç çubuğu sınırı: $V_{Rd,max,i}=\left(1+\frac{5}{30}\right)\times 250\times 810\times 0,492\times 30\times \frac{2,5}{7,25}\times 10^{-3}=1202,4\text{ kN}$

Bu değer tek gövde içindir. Toplam $V_{Ed}$ ve burulma, kesit geometrisine göre her duvara dağıtılmadan birleşik yeterlilik sonucu çıkarılmaz.

Adım B — Burulma basınç çubuğu sınırı: $\sin \theta \cos \theta =\frac{\cot \theta }{1+{\cot }^2\theta }=\frac{2,5}{7,25}$ $T_{Rd,max}=2\times 0,492\times \left(1+\frac{5}{30}\right)\times 30\times 180.000\times 80\times \frac{2,5}{7,25}\times 10^{-6}=171,0\text{ kN}\cdot \text{m}$

Adım C — Ön yeterlilik kararı: $\frac{T_{Ed}}{T_{Rd,max}}=\frac{180}{171,0}\approx 1,053>1,0$

Sonuç: Verilen etkin duvar kalınlığı ve $\cot \theta =2,5$ seçimiyle kesit yetersizdir; burulma tek başına basınç çubuğu sınırını aşar. Kesme–burulma birleşimine geçmeden bu sınır sağlanmalıdır. Etriye miktarını artırmak, beton basınç çubuğu sınırındaki bu aşımı gidermez.

Sonraki tasarım adımı, izin verilen aralıkta açı seçimini ve etkin kesit geometrisini yeniden değerlendirerek her duvarın birleşik kontrolünü yapmaktır. Bu örnekte duvar orta çizgisi boyutları ve kesme kuvveti dağılımı verilmediği için nihai etriye aralığı hesaplanmamıştır. Her iki gövde için Ø12/300 seçimi bu verilerle yeterli kabul edilemez.

12. Sık Yapılan Hatalar

1. Hesap aşamalarını karıştırmak: Ön gerilme kuvveti, beton dayanımı ve yükler aynı tasarım aşamasına ait olmalıdır. Uzun vadeli etkin kuvvet, aktarma ve montaj aşamalarının tamamı için tek başına geçerli değildir.
2. $V_{pd}$ uygulamasında tendon eğimi yanlış işaretleme: Orta açıklıkta tendon eğimi sıfıra yakındır; mesnet bölgesinde eğim + ise kesmeyi azaltır, − ise artırır.
3. ${\rho }_l$ hesabında flanş genişliği kullanmak: $V_{Rd,c}$ formülünde ${\rho }_l=A_{sl}/(b_w\cdot d)$ olup gövde genişliği $b_w$ kullanılır.
4. Açı sınırlarını ve basınç çubuğu kapasitesini kontrol etmemek: Eurocode 2 için önerilen $1\le \cot \theta \le 2,5$ aralığı ve uygulanan ulusal ek dikkate alınır; seçilen açıda $V_{Rd,max}$ koşulu da sağlanmalıdır.
5. Minimum etriye kontrolünü atlamak: Bu yazıdaki kiriş modelinde $V_{Ed}\le V_{Rd,c}$ olsa da minimum kesme donatısı koşulu kontrol edilir.
6. Yapı türünü dikkate almamak: Köprüler TBDY 2018 Madde 1.1.7 uyarınca kapsam dışındadır. Binalar ve köprüler için aynı deprem tasarım kuralları doğrudan kullanılamaz.

Kaynaklar

1. fib (2010). fib Bulletin No. 57: Shear and Punching Shear in RC and PC Beams. Lausanne.
2. Walraven, J.C. (2015). Prestressed concrete beams. In: Structural Concrete. Taylor & Francis.
3. TS EN 1992-1-1 (2014). Eurocode 2: Beton Yapıların Tasarımı – Bölüm 1-1. TSE, Ankara.
4. Nawy, E.G. (2010). Prestressed Concrete: A Fundamental Approach (5. baskı). Pearson Prentice Hall.
5. Collins, M.P. ve Mitchell, D. (1991). Prestressed Concrete Structures. Prentice-Hall.
6. Martin, L.H. & Purkiss, J.A. (2006). Concrete Design to EN 1992 (2. baskı). Butterworth-Heinemann.
7. Broo, H. (2008). Shear and Torsion in Concrete Structures (Doktora Tezi). Chalmers University of Technology.
8. KGM (2013). Karayolu Teknik Şartnamesi. Karayolları Genel Müdürlüğü, Ankara.
9. TS EN 206 (2021). Beton – Özellik, Performans, Üretim ve Uygunluk. TSE, Ankara.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Kiriş Boyutlandırma Hesaplama
• Kiriş Donatısı Hesaplama
• Etriye Donatısı Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.

yapidan (2026). Öngerilmeli Kirişlerde Kesme Tasarımı. Yapıdan — İnşaat Mühendisliği Bilgi Portalı. https://yapidan.com/kategoriler/ob/ongerilmeli-kirislerde-kesme-tasarimi