Öngerilmeli Döşemelerde Yük Dengeleme Yöntemi

Özet

Yük dengeleme yöntemi (load balancing method), öngerilmeli döşeme tasarımında tendon profilinin oluşturduğu eşdeğer yükün, döşeme üzerindeki sabit yükün belirli bir oranını dengeleyecek biçimde seçilmesine dayanan bir hesap yaklaşımıdır. Yöntem, T.Y. Lin tarafından 1963'te geliştirilmiş olup ACI 318-19 ve PTI DC80.3 kapsamında geçerli bir tasarım yöntemi olarak kabul görmektedir. Özellikle bağsız (unbonded) tendonlu post-tensioned (son çekme) düz döşemelerde yaygın biçimde uygulanır.

1. Tanım ve Temel İlke

1.1 Yük Dengeleme Kavramı

Parabolik profilli bir tendon, ankraj noktaları arasında yukarı yönlü dağılı kuvvet uygular. Bu kuvvet, döşeme sabit yükünün bir kısmını karşılayacak biçimde seçilirse, dengeli yük altında döşemede yalnızca eksenel basınç ($P/A$) gerilmesi kalır; eğilme momenti sıfıra yaklaşır. Kalan dengesiz yükler için konvansiyonel betonarme hesabı yapılır.

Eşdeğer Yük Prensibi:

Parabolik profilli tendon, sap uzunluğu $L$ ve sarkma miktarı $a$ için birim alana eşdeğer kaldırma kuvveti (ACI 318-19 R26.10.2):

$w_{bal} = \frac{8 \cdot P \cdot a}{L^2} \quad (\text{kN/m}^2)$

Burada:

• $P$ = etkin tendon kuvveti (kN/m şerit genişliği)
• $a$ = tendon sarkma miktarı (sag) — orta nokta ile ankraj noktaları arasındaki düşey fark (m)
• $L$ = açıklık (m)

1.2 Dengeleme Oranı

Tipik tasarım hedefi, sabit yükün (dead load) %60–80'ini dengelemektir (PTI DC80.3 Madde 5.3):

$w_{bal} = \alpha \cdot w_D$

Burada $\alpha$ = 0{,}60 – 0{,}80 (genellikle 0{,}70 seçilir).

Saha Notu: Türkiye'de otopark ve ticari yapılarda $\alpha = 0{,}70 – 0{,}80$ en yaygın tercih olup bu değer, servis sehimini L/250 sınırı içinde tutmak için önerilen alt ve üst aralıktır. Tam dengeleme ($\alpha = 1{,}0$) ekonomik değildir ve pratikte tercih edilmez.

2. Hesap Yöntemi — Adım Adım

Adım 1: Tendon Profilinin Belirlenmesi

Parabolik tendon profili için sarkma miktarı $a$:

$a = e_{orta} + e_{ankraj}$

Sürekli döşemelerde kolon şeridi üzerinde tendon yukarı (negatif), açıklık ortasında aşağı (pozitif) konumdadır. Eşdeğer yük yönü buna göre değişir.

Dikkat: Sarkma miktarı $a$, tendon kılıf merkezi ile döşeme nötr eksenine göre net olarak ölçülmeli; nominal h yerine net değer kullanılmalıdır. Örtü = 25 mm, h = 220 mm durumunda: $a_{net} = (220 - 25 - 25)/2 = 85\text{ mm}$.

Adım 2: Gerekli Tendon Kuvvetinin Hesabı

Hedef denge yükü $w_{bal}$ belirlendikten sonra:

$P = \frac{w_{bal} \cdot L^2}{8 \cdot a} \quad (\text{kN/m genişlik})$

Adım 3: Tendon Sayısı ve Aralığı

Strand başına kilitleme kuvveti (ACI 318-19 Madde 26.10.3):

$P_{strand} = 0{,}74 \cdot f_{pu} \cdot A_{ps}$

Gerekli strand aralığı:

$s = \frac{P_{strand}}{P}$

Adım 4: Dengede Ortalama Basınç Gerilmesi

Döşemede oluşan ortalama ön basınç gerilmesi (ACI 318-19 Madde 24.5):

$f_{pc} = \frac{P}{A_g}$

ACI 318-19 düz döşemeler için minimum ortalama basınç gerilmesi:

$f_{pc,min} = 0{,}86\text{ MPa} \quad (125\text{ psi, ACI 318-19 Md. 8.6.2.1})$

Adım 5: Dengesiz Yük Altında Gerilme Kontrolü

Net yük (dengesiz yük):

$w_{net} = w_D + w_L - w_{bal}$

Bu yük için açıklık momenti $M_{net}$ hesaplanır. Kesit gerilmeleri:

$\sigma_{üst} = \frac{P}{A_g} - \frac{M_{net}}{S_{üst}}, \quad \sigma_{alt} = \frac{P}{A_g} + \frac{M_{net}}{S_{alt}}$

Tablo 1: Adım 5: Dengesiz Yük Altında Gerilme Kontrolü

Adım 6: Kesme Kontrolü — Delme Kesme

Düz döşemelerde kolon çevresinde delme kesme (punching shear) kritik kontrol noktasıdır (ACI 318-19 Madde 22.6.5.2):

$V_c = \left(0{,}17 + \frac{0{,}33}{\beta}\right)\lambda\sqrt{f'_c} \cdot b_o \cdot d$

Öngerilme etkisi dahil delme kesme (ACI 318-19 Madde 22.6.5.5):

$v_u \leq \phi\,v_n = \phi \left(\beta_p \lambda \sqrt{f'_c} + \frac{N_{up}}{A_c}\right)$

Adım 7: Minimum Donatı

ACI 318-19 Madde 8.6.2.3 gereği, yük dengeleme yöntemi kullanılan düz döşemelerde kolon şeridi boyunca gerekli minimum pasif donatı:

$A_{s,min} = 0{,}0075 \cdot A_{cf} \quad \text{(ACI 318-19 Md. 8.6.3.3)}$

3. Bağsız Tendon Sistemi

Tablo 2: Bağsız Tendon Sistemi

4. Kolon Şeridi ve Orta Şerit Dağılımı

Tablo 3: Kolon Şeridi ve Orta Şerit Dağılımı

Saha Notu: Türkiye'de yük dengeleme yöntemiyle tasarlanan PT döşemelerde tendonların tamamı kolon şeridine yönlendirilmesi ACI 318-19 Madde 8.7.5.3'e aykırıdır. Minimum %25 tendon orta şeride dağıtılmalıdır.

5. Gerilme Kayıpları Etkisi

Yük dengeleme hesabında kullanılan $P$ değeri, uzun dönem etkin tendon kuvveti ($P_{m\infty}$) olmalıdır. Toplam kayıp oranı TS EN 1992-1-1:2004 Madde 5.10 veya ACI 318-19 kapsamında hesaplanır:

Tablo 4: Gerilme Kayıpları Etkisi

Saha Notu: Toplam kayıp oranının %20 olduğu kabul edilirse, gerdirme kuvveti $P_j$, hedef etkin kuvvetin %25 fazlası olarak seçilmelidir: $P_j = P_{m\infty} / 0{,}80$.

6. Deprem Koşulları (TBDY 2018)

7. Formül Özeti

Tablo 5: Formül Özeti

8. Örnek Problemler

Problem 1 — Kolay

Veriler:

• Döşeme: 8{,}0 m × 8{,}0 m kare panel; h = 220 mm
• Sabit yük: $w_D = 7{,}0\text{ kN/m}^2$ (öz ağırlık + kaplama)
• Hareketli yük: $w_L = 3{,}0\text{ kN/m}^2$
• Beton: $f'_c = 35\text{ MPa}$
• Strand: 12{,}7 mm, Grade 270; $f_{pu} = 1860\text{ MPa}$; $A_{ps} = 99\text{ mm}^2$/tel
• Dengeleme hedefi: $\alpha = 0{,}70$

İstenen: Gerekli tendon kuvveti, strand aralığı ve ortalama basınç gerilmesi

Çözüm:

Adım 1 — Hedef denge yükü:

$w_{bal} = 0{,}70 \times 7{,}0 = 4{,}90\text{ kN/m}^2$

Adım 2 — Tendon sarkma miktarı (örtü 25 mm, h = 220 mm):

$a = \frac{220 - 25 - 25}{2} = 85\text{ mm} = 0{,}085\text{ m}$

Adım 3 — Gerekli tendon kuvveti (birim genişlik, 1 m):

$P = \frac{w_{bal} \cdot L^2}{8 \cdot a} = \frac{4{,}90 \times 8{,}0^2}{8 \times 0{,}085} = \frac{313{,}6}{0{,}680} = 461{,}2\text{ kN/m}$

Adım 4 — Strand kilitleme kuvveti (ACI 318-19 Md. 26.10.3):

$P_{strand} = 0{,}74 \times 1860 \times 99 = 136{,}2\text{ kN}$

Adım 5 — Gerekli strand aralığı:

$s = \frac{136{,}2}{461{,}2} = 0{,}295\text{ m} \rightarrow 300\text{ mm seçilir}$

Adım 6 — Ortalama basınç gerilmesi ($A_g = 1000 \times 220 = 220000\text{ mm}^2/\text{m}$):

$f_{pc} = \frac{461{,}2 \times 10^3}{220000} = 2{,}10\text{ MPa} > 0{,}86\text{ MPa — OK} \checkmark$

Sonuç: Tendon aralığı 300 mm; $f_{pc} = 2{,}10\text{ MPa}$ ✓

Problem 2 — Orta Düzey

Veriler:

• Düz döşeme, L = 9{,}0 m; h = 250 mm; d = 210 mm
• Sabit yük: $w_D = 9{,}0\text{ kN/m}^2$; hareketli yük: $w_L = 4{,}0\text{ kN/m}^2$
• Beton: $f'_c = 35\text{ MPa}$; $E_c = 27580\text{ MPa}$
• Tendon sarkma: $a = 0{,}160\text{ m}$; etkin tendon kuvveti: $P = 500\text{ kN/m}$
• Dengeleme oranı $\alpha$ ve servis sehimi kontrol edilecek

İstenen: (a) Dengeleme oranını hesapla, (b) Servis sehimini kontrol et

Çözüm:

Adım 1 — Kaldırma yükü:

$w_{bal} = \frac{8 \times 500 \times 0{,}160}{9{,}0^2} = \frac{640}{81} = 7{,}90\text{ kN/m}^2$

Adım 2 — Dengeleme oranı:

$\alpha = \frac{w_{bal}}{w_D} = \frac{7{,}90}{9{,}0} = 0{,}878 \approx 88\%$

Adım 3 — Dengesiz yük (hareketli yük sehimi):

$w_{net} = w_L = 4{,}0\text{ kN/m}^2$

Adım 4 — Atalet momenti:

$I_g = \frac{1000 \times 250^3}{12} = 1302 \times 10^6\text{ mm}^4/\text{m}$

Adım 5 — Hareketli yük sehimi:

$\delta_q = \frac{5 \times 0{,}004 \times 9000^4}{384 \times 27580 \times 1{,}302 \times 10^9} = \frac{1{,}476 \times 10^{13}}{1{,}380 \times 10^{16}} = 10{,}7\text{ mm}$

Adım 6 — Sehim sınırı kontrolü:

$\delta_{max} = L/250 = 9000/250 = 36\text{ mm} > 10{,}7\text{ mm} \checkmark$

Sonuç: $\alpha = 88\%$; $\delta_q = 10{,}7\text{ mm} < 36\text{ mm}$ ✓

Problem 3 — İleri Düzey

Veriler:

• İç kolon, kare: $c = 400\text{ mm}$; etkin döşeme yüksekliği: $d = 200\text{ mm}$
• Toplam düşey tasarım yükü: $V_u = 720\text{ kN}$ (iç kolon, faktörlü)
• Beton: $f'_c = 35\text{ MPa}$ ($\sqrt{f'_c} = 5{,}916$)
• Öngerilme ön basınç: $f_{pc} = 2{,}0\text{ MPa}$ (iki yönde ortalama)
• Dayanım azaltma katsayısı: $\phi = 0{,}75$ (ACI 318-19)

İstenen: Delme kesme kapasitesini kontrol et; donatı gerekip gerekmediğini belirle

Çözüm:

Adım 1 — Kritik çevre (d/2 mesafede — ACI 318-19):

$b_o = 4 \times (c + d) = 4 \times (400 + 200) = 2400\text{ mm}$

Adım 2 — Delme kesme kapasitesi (ACI 318-19 Md. 22.6.5.5 — öngerilmeli):

$v_n = \beta_p \lambda \sqrt{f'_c} + \frac{N_{up}}{A_c}$

$\beta_p = \min(0{,}29;\ 0{,}083(1+2/\beta)) = 0{,}29$ (iç kare kolon, $\beta = 1{,}0$)

$v_n = 0{,}29 \times 1{,}0 \times 5{,}916 + \frac{2{,}0}{1{,}0} = 1{,}716 + 2{,}0 = 3{,}716\text{ MPa}$

$V_{n,max} = v_n \times b_o \times d = 3{,}716 \times 2400 \times 200 = 1783\text{ kN}$

$\phi V_n = 0{,}75 \times 1783 = 1337\text{ kN} > V_u = 720\text{ kN} \checkmark$

Adım 3 — Sonuç:

Delme kesme donatısı (studrail) gerekmez. Güvenlik katsayısı: $\phi V_n / V_u = 1337 / 720 = 1{,}86$.

Kontrol — TBDY 2018 Deprem durumu (Madde 7.11.7):

$\tau_{pd} = V_u / (b_o \times d) = 720000 / (2400 \times 200) = 1{,}5\text{ N/mm}^2$

$f_{ctd} = f_{ctk}/\gamma_c = 2{,}2/1{,}5 = 1{,}47\text{ N/mm}^2$ (C35/45 için $f_{ctk} = 2{,}2\text{ MPa}$)

$\tau_{pd} = 1{,}5 > f_{ctd} = 1{,}47$ → Sınırda; TBDY kapsamında zımbalama donatısı incelenmeli.

9. Dikkat Edilmesi Gerekenler

Tablo 6: Dikkat Edilmesi Gerekenler

Mevzuat Referansları

• ACI 318-19 Madde 8.6.2.1: Minimum ortalama ön basınç gerilmesi (0{,}86 MPa)
• ACI 318-19 Madde 8.6.3.3: Minimum pasif donatı kolon şeridi
• ACI 318-19 Madde 8.7.5.3: Tendon dağılımı — kolon/orta şerit
• ACI 318-19 Madde 20.3.2.4: Bağsız tendon son durum gerilmesi $f_{ps}$
• ACI 318-19 Madde 22.6.5: Delme kesme kapasitesi
• ACI 318-19 Madde 24.5.2: Gerilme sınırları
• ACI 318-19 Madde 26.10.3: Kilitleme gerilmesi
• PTI DC80.3-17: Bağsız mono-strand tendon şartnamesi
• TS EN 1992-1-1:2004 Madde 5.10: Öngerilme kayıpları
• TS EN 1992-1-1:2004 Madde 6.4: Zımbalama dayanımı
• TS EN 1992-1-1:2004 Madde 8.10.3: Tendon aralık gereksinimleri
• TBDY 2018 Madde 4.3.4.4: Kirişsiz döşemeli sistemlerde deprem koşulları
• TBDY 2018 Madde 7.11.7: Zımbalama — deprem durumu kontrolü

Kaynaklar

1. ACI 318-19 (2019). Building Code Requirements for Structural Concrete. ACI, Farmington Hills.
2. PTI DC80.3-17 (2017). Specification for Unbonded Single Strand Tendons. Post-Tensioning Institute.
3. Lin, T.Y. ve Burns, N.H. (1981). Design of Prestressed Concrete Structures, 3. Baskı. Wiley.
4. Nawy, E.G. (2006). Prestressed Concrete: A Fundamental Approach, 5. Baskı. Pearson.
5. TS EN 1992-1-1:2004. Eurocode 2: Beton Yapıların Tasarımı – Bölüm 1-1. TSE, Ankara.
6. TBDY 2018. Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği. Resmi Gazete, 18 Mart 2018. T.C. Çevre ve Şehircilik Bakanlığı, Ankara.
7. Aalami, B.O. ve Bommer, A. (1999). Design Fundamentals of Post-Tensioned Concrete Floors. PTI, Phoenix.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Döşeme Donatısı Hesaplama
• Kiriş Boyutlandırma Hesaplama
• Beton Metrajı Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.