Mohr-Coulomb Kırılma Kriteri

Kategori: Geoteknik (GT) Seviye: Temel–Orta

1. Temel Kavram

Mohr-Coulomb kırılma kriteri, bir zeminde kayma kırılmasının oluşması için gerekli kayma gerilmesi $\tau_f$ ile o düzlemdeki efektif normal gerilme $\sigma'_f$ arasındaki lineer ilişkiyi tanımlar.

Zeminlerde kayma kırılması, iki türlü gerilme çerçevesinde incelenir: efektif gerilme (drenajlı, uzun vadeli) ve toplam gerilme (drenajsız, kısa vadeli). Bu ayrım, tasarımda hangi parametre setinin kullanılacağını doğrudan belirler.

Saha Notu: Türkiye'de kıyı ve nehir düzlükleri (Gediz, Büyük Menderes, Sakarya, Ergene Ovaları) genellikle yüksek plastisiteli, yumuşak alüvyon killerinden oluşur. Bu zeminlerde kısa vadeli yükleme koşullarında drenajsız analiz (toplam gerilme), uzun vadeli kararlılık hesaplarında ise drenajlı analiz (efektif gerilme) zorunludur.

Dikkat: Efektif ve toplam gerilme parametrelerini aynı hesapta karıştırmak, hem aşırı güvenli hem de tehlikeli sonuçlar verebilir.

2. Mohr-Coulomb Kırılma Doğrusu

2.1 Efektif Gerilme Cinsinden (Drenajlı)

$\tau_f = c' + \sigma'_f \tan\phi'$

2.2 Toplam Gerilme Cinsinden (Drenajsız)

$\tau_f = c_u + \sigma \tan\phi_u$

Tam doygun kil için drenajsız: $\phi_u = 0$, dolayısıyla:

$\tau_f = c_u \quad (\text{sabit, gerilmeden bağımsız})$

Bu özel durum $\phi = 0$ analizi olarak adlandırılır ve yalnızca tam doygun, konsolide edilmemiş kil zeminlerine uygulanır (UU koşulları).

Parametreler:

Tablo 1: Notasyon ve Semboller

3. Mohr Dairesi

3.1 Tanım

Bir zemin elemanındaki gerilme durumu, $\sigma$–$\tau$ düzleminde Mohr dairesi ile temsil edilir. Mohr dairesi, büyük asal gerilme $\sigma_1$ ve küçük asal gerilme $\sigma_3$ tarafından belirlenir.

Merkez:

$\sigma_c = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}$

Yarıçap:

$R = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$

Herhangi bir $\theta$ açısındaki düzlemde:

$\sigma = \sigma_c + R\cos(2\theta)$

$\tau = R\sin(2\theta)$

Saha Notu: Türkiye'de triaksiyel deneyler en az üç farklı hücre basıncında ($\sigma_3$) uygulanmalıdır; iki Mohr dairesiyle belirlenen parametreler yeterli kesinliği sağlamaz. Bu gereklilik TS 1900-2:2006 Madde 5.4.3'te açıkça belirtilmiştir.

3.2 Kırılma Düzlemi Açısı

Kırılma düzleminin yatay ile yaptığı açı:

$\theta_f = 45° + \frac{\phi'}{2}$

Bu ifade, Mohr dairesi üzerindeki en kritik düzlemin, büyük asal gerilme yönüyle yaptığı açıyı verir. $\phi' = 30°$ için $\theta_f = 60°$ elde edilir; kırılma yüzeyi yatayla 60°'lik açı yapar.

4. Parametrelerin Deneyle Belirlenmesi

4.1 Doğrudan Kesme Deneyi (Direct Shear Test)

Türk Standardı: TS 1900-2:2006 Madde 5.6 Deney 6 Uluslararası: ASTM D3080 / TS EN ISO 17892-10

Uygulama: Farklı normal gerilme değerlerinde ($\sigma'_1, \sigma'_2, \sigma'_3$) örnekler kesilerek $\tau_f$–$\sigma'$ noktaları çizilir; doğrunun eğimi $\phi'$ ve y-kesişimi $c'$ verir.

$\phi' = \arctan\left(\frac{\tau_{f2} - \tau_{f1}}{\sigma'_2 - \sigma'_1}\right)$

Avantaj: Hızlı, ucuz, geniş kesme kutusu boyutları (60 mm × 60 mm ile 300 mm × 300 mm arası) ile iri daneli malzemelere de uygulanabilir.

Sınırlılıklar: Kırılma düzlemi zorla belirlenir; hacim değişimi ölçülmez; drenaj koşulları tam kontrol edilemez.

Dikkat: Kıyı, dere ya da göl kıyısındaki alüvyon killi zeminlerde artık kayma mukavemeti $\phi'_r$ esas parametreden %20–40 düşük olabilir. Tekrarlı kesme ya da büyük deplasman deneyi gerekebilir.

4.2 Triaksiyel Deney (Triaxial Test)

Türk Standardı: TS 1900-2:2006 Madde 5.4 Deney 4 (UU), Madde 5.5 Deney 5 (CU/CD) Uluslararası: TS EN ISO 17892-8:2018 (UU); TS EN ISO 17892-9:2018 (CD/CU); ASTM D4767

Üç veya daha fazla numunede farklı hücre basınçları $\sigma_3$ uygulanır; her numune için Mohr dairesi çizilir. Ortak tanjant → Mohr-Coulomb zarfı.

Tablo 2: Triaksiyel Deney (Triaxial Test)

Saha Notu: Türkiye'deki zemin etütlerinde CD deneyi (çok yavaş, 7–15 gün) pek yapılmaz; bunun yerine boşluk suyu basıncı ölçümlü CU deneyi (ASTM D4767 / TS 1900-2:2006 Madde 5.5) tercih edilir. CU+Δu ile hem toplam hem efektif parametreler elde edilir.

4.3 Kanat Kesme Deneyi (Vane Shear Test)

Türk Standardı: TS 3234:2010 (Zemin İncelemesi — Arazi Deneyleri) Uluslararası: ASTM D2573; BS EN ISO 22476-9

Yumuşak ve orta sert killerde yerinde $c_u$ tayini:

$c_u = \frac{6T}{7\pi D^3}$

(Silindirik kanat, $H/D = 2$ oranı için)

Genel formül ($\beta$ son dağılım parametresi ile):

$T = \pi \left(\frac{D^2 H}{2} + \beta \frac{D^3}{6}\right) c_u$

$\beta = 2/3$ (uniform dağılım), $\beta = 1/2$ (üçgen), $\beta = 3/5$ (parabolik).

Bjerrum Düzeltme Faktörü: Plastisitesi yüksek killerde vane deneyi $c_u$ değeri yük taşıma kapasitesini aşırı değerlendirebilir. Bjerrum (1974) tarafından önerilen düzeltme:

$c_{u,\text{tasarım}} = \lambda \cdot c_{u,\text{vane}}$

$\lambda = 1{,}7 - 0{,}54 \log(\text{PI\%})$

Burada PI = plastisite indisi (%). Örneğin PI = 50 için $\lambda \approx 0{,}84$.

Saha Notu: Türkiye'nin kuzey kıyılarındaki (Karadeniz kıyı şeridi) ve delta ovalarındaki yüksek plastisiteli killerde (PI = 40–80) vane deneyi kaçınılmazdır, ancak Bjerrum düzeltmesi uygulanmadan elde edilen $c_u$ değerlerinin doğrudan tasarımda kullanılması tehlikelidir.

5. Drenajlı ve Drenajsız Parametreler

5.1 Drenajlı Parametreler ($c'$, $\phi'$)

Efektif gerilme parametreleri, zeminin uzun vadeli gerçek davranışını yansıtır ve aşağıdaki hesaplarda kullanılır:

• Uzun vadeli şev stabilitesi
• Sıkışma hesapları
• Uzun vadeli taşıma gücü

Tablo 3: Drenajlı Parametreler (, )

Tablo 4: Drenajlı Parametreler (, )

Saha Notu: Türkiye'de orta-yüksek plastisiteli alüvyon killerde (Ankara kilinde ortalama $c' \approx 5$–$15$ kPa, $\phi' \approx 20$–$28°$) elde edilen parametreler, Skempton korelasyonu ile karşılaştırılarak doğrulanmalıdır.

5.2 Drenajsız Kayma Dayanımı ($c_u$ veya $s_u$)

Doygun kilde kısa vadeli (hızlı yükleme) koşulları için:

$c_u = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \quad (\phi_u = 0 \text{ kabulü})$

Skempton (1957) Korelasyonu — Normalde konsolide kil için:

$\frac{c_u}{\sigma'_{v0}} = 0{,}11 + 0{,}0037 \cdot \text{PI}$

Burada $\sigma'_{v0}$ = efektif düşey jeoistatik gerilme (kPa), PI = plastisite indisi (%).

Örnek: PI = 40, $\sigma'_{v0}$ = 80 kPa için: $c_u / 80 = 0{,}11 + 0{,}0037 \times 40 = 0{,}258 \Rightarrow c_u = 20{,}6$ kPa.

Dikkat: Skempton (1957) korelasyonu yalnızca normalde konsolide (NC) killer için geçerlidir. Aşırı konsolide (OC) kil veya organik zemin için ayrı korelasyonlar (Larsson 1980, SHANSEP yöntemi vb.) kullanılmalıdır.

6. Normal ve Kayma Gerilmesi Hesabı

Herhangi bir düzlemde ($\beta$ = yataya göre açı):

$\sigma_n = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \cos(2\beta)$

$\tau = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \sin(2\beta)$

Bu denklemler yardımıyla, asal gerilmelerden herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir; böylece kırılma kontrolü analitik olarak yapılabilir.

7. Kırılma Kriteri Kontrolü

Verilen gerilme durumunda kırılma olup olmadığı şöyle kontrol edilir:

1. Mohr dairesini çiz: merkez $\sigma_c$, yarıçap $R$
2. Mohr-Coulomb zarfını ekle: $\tau = c' + \sigma' \tan\phi'$
3. Dairenin zarfı kesmesi → kırılma oluştu
4. Daire zarfın altında → güvenli
5. Daire zarfa teğet → limit denge (kırılma sınırında)

Güvenlik sayısı (Mohr bazlı):

$FS = \frac{\tau_f}{\tau_{\text{mob}}} = \frac{c' + \sigma' \tan\phi'}{\tau}$

Saha Notu: Türkiye Deprem Yönetmeliği TBDY 2018 Madde 16.5.1'e göre, deprem durumu için zemin parametreleri belirlenirken dinamik yükleme altındaki kayma dayanımı azalması da dikkate alınmalıdır. ZD ve ZE sınıfı zeminlerde deprem durumu için statik parametrelere ilave düzeltme gerekebilir.

8. TBDY 2018 Kapsamında Zemin Sınıflandırması

Tablo 5: TBDY 2018 Kapsamında Zemin Sınıflandırması

Dikkat: ZF sınıfı; sıvılaşma potansiyeli yüksek kum tabakası, yüksek duyarlı kil, organik ve turba tabakası, dolgu, heyelan bölgesi içeren zeminleri kapsar. Bu sınıf için sahaya özel zemin davranış analizi zorunludur (TBDY 2018 Madde 16.5.2).

Saha Notu: Türkiye'nin büyük bölümünde ZD sınıfı zemin hakimdir. İstanbul, Bursa, İzmir ve Adapazarı gibi büyük yerleşim alanlarında ZE ve hatta ZF sınıfı zeminler yaygın olup bu bölgelerde temel tasarımı öncesinde kapsamlı zemin etüdü zorunludur (TS 3234:2010).

9. Deney Tipi Seçim Prosedürü

Saha Notu: Türkiye'de zemin etüt raporlarında (İMO Zemin Etüt Yönetmeliği uyarınca) her boşaltılan kılavuzda en az bir UU triaksiyel veya serbest basınç deneyi yapılmalıdır. CU deneyi ile boşluk suyu basıncı ölçümü yapıldığında hem statik hem deprem parametreleri elde edilebilir.

10. Türkiye Saha Koşullarına Özgü Notlar

10.1 İklim ve Don Etkisi

Tablo 6: İklim ve Don Etkisi

Don etkisiyle zemin kayma mukavemeti geçici olarak artar (donmuş zemin); ancak çözünme döneminde hızla düşer. Bu durum, don ve çözünme döngüsüne maruz zemin şevlerinde kayma riskini artırır.

10.2 Türkiye'de Yaygın Zemin Tipleri ve Tipik Parametreler

Tablo 7: Türkiye'de Yaygın Zemin Tipleri ve Tipik Parametreler

10.3 Yasal Zorunluluklar

• 3194 sayılı İmar Kanunu: Yapı ruhsatı öncesi zemin etüt raporu zorunludur.
• 4708 sayılı Yapı Denetimi Kanunu: Onaylı laboratuvarda zemin deneyleri yaptırılması zorunludur.
• 6331 sayılı İş Güvenliği Kanunu: Kazı çalışmalarında şev stabilitesi analizi ve iş güvenliği önlemleri mühendislik belgesiyle desteklenmelidir.

11. Örnek Problemler

Problem 1 — Kolay

Konu: CD triaksiyel deneyde $\phi'$ belirlenmesi (NC kum)

Veriler:

• Numune tipi: Normalde konsolide (NC) temiz kum — $c' = 0$
• Hücre basıncı: $\sigma_3 = 125$ kPa
• Kırılmadaki deviator gerilme: $\Delta\sigma_d = 175$ kPa

İstenen: Efektif içsel sürtünme açısı $\phi'$.

Çözüm:

Adım 1: Büyük asal gerilmeyi bul:

$\sigma_1 = \sigma_3 + \Delta\sigma_d = 125 + 175 = 300 \text{ kPa}$

Adım 2: Mohr dairesinin sinüs ifadesini kur (TS 1900-2:2006 Madde 5.4.7):

$\sin\phi' = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{\sigma_1 + \sigma_3} = \frac{300 - 125}{300 + 125} = \frac{175}{425} = 0{,}4118$

Adım 3: Sürtünme açısını hesapla:

$\phi' = \arcsin(0{,}4118) \approx 24{,}3°$

Adım 4: Kırılma düzlemi açısını hesapla (TS 1900-2:2006 Madde 5.4.6):

$\theta_f = 45° + \frac{\phi'}{2} = 45° + 12{,}15° = 57{,}15° \approx 57°$

Sonuç: $\phi' = 24{,}3°$, kırılma düzlemi açısı $\theta_f \approx 57°$.

Kontrol: NC kum için beklenen aralık $\phi' = 20°$–$38°$; sonuç makul aralıkta. ✓

Problem 2 — Orta

Konu: CU triaksiyel deneyde toplam ve efektif parametreler + boşluk suyu basıncı

Veriler:

• Zemin tipi: Normalde konsolide kil
• Hücre basıncı (konsolidasyon): $\sigma_3 = 150$ kPa
• Kırılmadaki deviator gerilme: $\Delta\sigma_d = 120$ kPa
• Bilinen efektif sürtünme açısı: $\phi' = 27°$

İstenen: (a) CU toplam sürtünme açısı $\phi_{\text{cu}}$, (b) kırılmadaki boşluk suyu basıncı $u_f$.

Çözüm:

Adım 1: Toplam gerilmeleri belirle:

$\sigma_3 = 150 \text{ kPa}, \quad \sigma_1 = 150 + 120 = 270 \text{ kPa}$

Adım 2: Toplam sürtünme açısını bul:

$\sin\phi_{\text{cu}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{\sigma_1 + \sigma_3} = \frac{270 - 150}{270 + 150} = \frac{120}{420} = 0{,}2857$

$\phi_{\text{cu}} = \arcsin(0{,}2857) \approx 16{,}6°$

Adım 3: Efektif gerilme zarfından boşluk basıncını bul. Deviator gerilme toplam ve efektif Mohr dairelerinde aynıdır: $\sigma'_1 - \sigma'_3 = 120$ kPa.

$\sin 27° = \frac{\sigma'_1 - \sigma'_3}{\sigma'_1 + \sigma'_3} \Rightarrow \sigma'_1 + \sigma'_3 = \frac{120}{\sin 27°} = \frac{120}{0{,}454} = 264{,}3 \text{ kPa}$

Adım 4: Boşluk suyu basıncı:

$u_f = \frac{(\sigma_1 + \sigma_3) - (\sigma'_1 + \sigma'_3)}{2} = \frac{420 - 264{,}3}{2} = \frac{155{,}7}{2} \approx 77{,}9 \text{ kPa}$

Adım 5: Kırılma düzlemi açısı (efektif parametrelerden):

$\theta_f = 45° + \frac{27°}{2} = 58{,}5°$

Sonuç: $\phi_{\text{cu}} \approx 16{,}6°$, $u_f \approx 77{,}9$ kPa, $\theta_f = 58{,}5°$.

Kontrol: NC kilde $u_f > 0$ beklenir (daralma eğilimi); sonuç fiziksel olarak tutarlı. ✓ Ayrıca: $u_f / \sigma_3 = 77{,}9 / 150 = 0{,}52$ → Skempton A parametresi normal NC kil aralığında (0,5–1,0). ✓

Problem 3 — Zor

Konu: CD triaksiyel deneyde $c'$ ve $\phi'$ belirlenmesi + kırılma düzlemi analizi + güvenlik sayısı + TBDY 2018 sınıflandırması

Veriler:

• Numune: Alüvyon kumlu kil (Türkiye kıyı bölgesi tipik zemin)
• Hücre basıncı: $\sigma_3 = 100$ kPa
• Kırılmadaki deviator gerilme: $\sigma_{ax} = 200$ kPa
• Deney tipi: CD (drenajlı, $u = 0$)
• İkinci numune: $\sigma_3 = 200$ kPa, $\sigma_{ax} = 362$ kPa (deviator gerilme)

İstenen:

(a) $c'$ ve $\phi'$ değerleri (b) Kırılma düzlemi açısı $\theta_f$ (c) Kırılma düzlemindeki $\sigma'_n$ ve $\tau_f$ değerleri (d) Güvenlik sayısı (FS) (e) TBDY 2018 Tablo 16.1 uyarınca zemin sınıfı tahmini

Çözüm:

Adım 1 — Asal gerilmeleri bul:

Numune 1: $\sigma_3 = 100$ kPa, $\sigma_1 = 100 + 200 = 300$ kPa Numune 2: $\sigma_3 = 200$ kPa, $\sigma_1 = 200 + 362 = 562$ kPa

Adım 2 — Mohr dairesi merkezleri ve yarıçapları:

Numune 1: $\sigma_{c1} = 200$ kPa, $R_1 = 100$ kPa Numune 2: $\sigma_{c2} = 381$ kPa, $R_2 = 181$ kPa

Adım 3 — İçsel sürtünme açısını bul:

$\sin\phi' = \frac{R_2 - R_1}{\sigma_{c2} - \sigma_{c1}} = \frac{181 - 100}{381 - 200} = \frac{81}{181} = 0{,}4475$

$\phi' = \arcsin(0{,}4475) \approx 26{,}6° \approx 27°$

Adım 4 — Kohezyon kesimini bul:

$c' = R_1 - \sigma_{c1} \sin\phi' = 100 - 200 \times 0{,}4475 = 100 - 89{,}5 = 10{,}5 \text{ kPa}$

Kontrol: $c' = R_2 - \sigma_{c2} \sin\phi' = 181 - 381 \times 0{,}4475 = 181 - 170{,}5 = 10{,}5$ kPa ✓

Adım 5 — Kırılma düzlemi açısı:

$\theta_f = 45° + \frac{27°}{2} = 58{,}5°$

Adım 6 — Kırılma düzlemindeki gerilmeler (Numune 1):

$\sigma'_n = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}\cos(2\theta_f)$

$\sigma'_n = 200 + 100\cos(117°) = 200 + 100 \times (-0{,}454) = 200 - 45{,}4 = 154{,}6 \text{ kPa}$

$\tau = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}\sin(2\theta_f) = 100\sin(117°) = 100 \times 0{,}891 = 89{,}1 \text{ kPa}$

Adım 7 — Mohr-Coulomb dayanımını kontrol et:

$\tau_f = c' + \sigma'_n \tan\phi' = 10{,}5 + 154{,}6 \times \tan(27°) = 10{,}5 + 154{,}6 \times 0{,}510 = 10{,}5 + 78{,}8 = 89{,}3 \text{ kPa}$

$FS = \frac{\tau_f}{\tau} = \frac{89{,}3}{89{,}1} \approx 1{,}002 \approx 1{,}0$

Daire zarfa teğet olduğundan FS ≈ 1,0 → kırılma sınırında (limit denge). ✓

Adım 8 — TBDY 2018 Tablo 16.1 Zemin Sınıfı Tahmini:

Verilen kumlu kil için $c_u$ değeri yaklaşık 10–40 kPa aralığında varsayılırsa ve tipik SPT-N kıyı alüvyon için 5–15 darbe/30 cm ise ZE sınıfı uygun görünür. Kesin sınıflandırma için SPT-N ve $\bar{V}_{s30}$ ölçümü zorunludur (TBDY 2018 Tablo 16.1 ve Madde 16.2).

Sonuçlar:

• $c' = 10{,}5$ kPa, $\phi' \approx 27°$
• $\theta_f = 58{,}5°$
• Kırılma düzleminde $\sigma'_n = 154{,}6$ kPa, $\tau = 89{,}1$ kPa
• Güvenlik sayısı $FS \approx 1{,}0$ → kırılma sınırında (deney doğrulaması: beklenen sonuç)
• Tahmini zemin sınıfı: ZE (kesinleştirmek için SPT ve $V_s$ ölçümü zorunlu)

12. Sık Yapılan Hatalar

Tablo 8: Sık Yapılan Hatalar

Kaynakça

1. İlgili Türk Standartları (TS) ve Avrupa Normları (EN)
2. TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği
3. İlgili ders kitapları ve teknik kaynaklar

Not: Bu makale eğitim amaçlıdır. Projelerde güncel yönetmelik ve standartlara başvurunuz.

Kaynaklar

1. TS 1900-2:2006 — TSE — Türk Standardları Enstitüsü. https://www.tse.org.tr
2. TBDY 2018 — AFAD / T.C. Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı. https://www.resmigazete.gov.tr/eskiler/2018/03/20180318M1-2.htm
3. TS EN 1997-1:2012 — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu
4. ASTM D3080.
5. ASTM D4767.
6. TS EN ISO 17892-8:2018 — ISO / TSE — Türk Standardları Enstitüsü. https://www.tse.org.tr
7. TS EN ISO 17892-9:2018 — ISO / TSE — Türk Standardları Enstitüsü. https://www.tse.org.tr

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Zemin Taşıma Gücü Hesaplama
• Şev Stabilitesi Hesaplama
• SPT N30 Düzeltme Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.