Matris Deplasma Yöntemi: Çerçeve Analizi

Giriş

Matris deplasma yöntemi (doğrudan rijitlik yöntemi), günümüz yapı mühendisliği yazılımlarının temelini oluşturan sayısal analiz tekniğidir. SAP2000, ETABS, ROBOT Structural, RSTAB gibi tüm ticari programlar bu yöntemi çekirdek çözücü olarak kullanır. Yöntem, karmaşık yapı sistemlerini sistematik biçimde modelleyerek, düğüm serbestlik derecelerine (DOF) karşılık gelen bilinmeyen deplasmanları hesaplamaya olanak tanır.

Bu makalede iki boyutlu (2B) çerçevelere uygulanan matris deplasma yöntemi; yerel rijitlik matrisi, koordinat dönüşümü, global matris montajı ve sınır koşullarının uygulanması adımlarıyla ele alınmakta; etkin kesit rijitliği (TBDY 2018), P-Δ etkisi ve ikinci mertebe analiz kriterleri ile pekiştirilmektedir.

1. Temel Kavramlar

1.1 Serbestlik Derecesi (DOF)

İki boyutlu çerçeve analizinde her düğüm nokta üç serbestlik derecesine sahiptir:

• $u_x$ — yatay öteleme
• $u_y$ — düşey öteleme
• $\theta_z$ — düzlem içi dönme

$n$ düğümlü bir 2B çerçeve için toplam DOF sayısı $3n$ olur. Mesnet koşulları (ankastre, mafsallı, basit) bu serbestlik derecelerinin bir kısmını sıfırlar; kalan serbest DOF'lar bilinmeyenler vektörünü oluşturur.

1.2 Temel Denklem

Matris deplasma yönteminin temel denklemi:

$$\{F\} = [K]\{u\}$$

Burada:

• $\{F\}$ — düğüm kuvvetleri vektörü (bilinen)
• $[K]$ — global rijitlik matrisi (yapının geometrisi ve malzemesinden oluşturulan)
• $\{u\}$ — düğüm deplasmanları vektörü (bilinmeyen)

Sınır koşulları uygulandıktan sonra indirgenmiş sistem çözülür:

$$\{u_f\} = [K_{ff}]^{-1}\{F_f\}$$

Burada $f$ alt indisi serbest (free) DOF'ları, $s$ alt indisi sabit (supported/restrained) DOF'ları ifade eder.

2. Yerel Rijitlik Matrisi

2.1 2B Çerçeve Elemanı

Uzunluğu $L$, eksenel rijitliği $EA$, eğilme rijitliği $EI$ olan bir 2B Euler-Bernoulli çerçeve elemanının yerel koordinat sistemindeki $6 \times 6$ rijitlik matrisi:

$$[k_e] = \begin{bmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 \\[6pt] 0 & \frac{12EI}{L^3} & \frac{6EI}{L^2} & 0 & -\frac{12EI}{L^3} & \frac{6EI}{L^2} \\[6pt] 0 & \frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} & 0 & -\frac{6EI}{L^2} & \frac{2EI}{L} \\[6pt] -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 \\[6pt] 0 & -\frac{12EI}{L^3} & -\frac{6EI}{L^2} & 0 & \frac{12EI}{L^3} & -\frac{6EI}{L^2} \\[6pt] 0 & \frac{6EI}{L^2} & \frac{2EI}{L} & 0 & -\frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} \end{bmatrix}$$

Satır/sütun sıralaması: $[u_{x1},\; u_{y1},\; \theta_1,\; u_{x2},\; u_{y2},\; \theta_2]$

Köşegen terimler: Eksenel rijitlik $EA/L$, kayma rijitliği $12EI/L^3$, dönme rijitliği $4EI/L$.

Çapraz terimler: Kesme-moment etkileşimi $6EI/L^2$, ters uç moment $2EI/L$.

2.2 Timoshenko Kayma Düzeltmesi

Derin kirişlerde ($L/d < 10$) kayma deformasyonu ihmal edilemez. Timoshenko kirişi için düzeltilmiş $12EI/L^3$ terimi:

$$\frac{12EI}{L^3(1+\Phi)}, \quad \Phi = \frac{12EI}{\kappa A_s G L^2}$$

Kayma düzeltme katsayısı $\kappa$: dikdörtgen kesit için $5/6 \approx 0.833$, daire kesit için $0.9$.

3. Koordinat Dönüşümü

3.1 Dönüşüm Matrisi

Eleman yerel ekseni global eksenle $\alpha$ açısı yapıyorsa, dönüşüm matrisi:

$$[T] = \begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos\alpha & \sin\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Global koordinat sistemindeki eleman rijitlik matrisi:

$$[K_e^{global}] = [T]^T [k_e] [T]$$

Düşey kolonlar için $\alpha = 90°$: $\cos\alpha = 0$, $\sin\alpha = 1$. Yatay kirişler için $\alpha = 0°$: $\cos\alpha = 1$, $\sin\alpha = 0$, dolayısıyla $[T] = [I]$ ve $[K_e^{global}] = [k_e]$.

4. Global Rijitlik Matrisi Montajı

4.1 Montaj İşlemi

Her elemanın $6 \times 6$ global matrisi, düğüm numaralandırmasına göre büyük $(3n \times 3n)$ global matrise eklenir (assembly). Paylaşılan düğümlere ait katkılar toplanır.

Montaj kuralı: $j$ ve $k$ düğümleri arasındaki eleman, global matrisin $\{3j-2, 3j-1, 3j\}$ ve $\{3k-2, 3k-1, 3k\}$ satır/sütunlarına katkıda bulunur.

4.2 Sınır Koşullarının Uygulanması

Mesnet DOF'ları (sabit) matris ve vektörden silinerek indirgenmiş sistem elde edilir:

$$[K_{ff}]\{u_f\} = \{F_f\} - [K_{fs}]\{u_s\}$$

Mesnet hareketleri sıfır ($\{u_s\} = \{0\}$) ise: $[K_{ff}]\{u_f\} = \{F_f\}$

5. Düğüm Arası Yükler: Sabit Uç Kuvvetleri

Kirişler üzerindeki dağılı yükler doğrudan DOF'lara etki etmez; önce eşdeğer sabit uç kuvvetlerine (fixed-end forces) dönüştürülmelidir.

Yayılı yük $w$ taşıyan, uzunluğu $L$ olan ankastre-ankastre kiriş için sabit uç momentleri:

$$M_{bc} = -\frac{wL^2}{12}, \quad M_{cb} = +\frac{wL^2}{12}$$

Sabit uç kesme kuvvetleri:

$$V_{bc} = V_{cb} = \frac{wL}{2}$$

Sabit uç kuvvetleri, yük vektöründe ters işaretle düğüm kuvvetlerine eklenir.

6. Etkin Kesit Rijitliği (TBDY 2018)

Betonarme yapılarda deprem etkisi altında çatlama nedeniyle kesit rijitlikleri azalır. TBDY 2018 Tablo 4.2 değerleri:

Tablo 1: Etkin Kesit Rijitliği (TBDY 2018)

Bu katsayılar, global rijitlik matrisinin montajından önce her elemana uygulanmalıdır.

Not: TS EN 1992-1-1 Madde 5.7 benzer çatlama katsayılarını uzun süreli etkiler için tanımlar; ancak TBDY 2018 değerleri Türkiye deprem yönetmeliğine özgü ve bağlayıcıdır.

7. İkinci Mertebe Analiz ve P-Δ Etkisi

7.1 P-Δ Geometrik Rijitsizlik

Kat öteleme katsayısı:

$$\theta_i = \frac{P_i \cdot \Delta_i}{V_i \cdot h_i}$$

• $P_i$ — $i$. kattaki toplam düşey yük (kN)
• $\Delta_i$ — $i$. kat göreli ötelemesi (m)
• $V_i$ — $i$. kat toplam yatay kesme kuvveti (kN)
• $h_i$ — $i$. kat yüksekliği (m)

TBDY 2018 limitleri:

• $\theta_i \leq 0.10$: İkinci mertebe etkisi ihmal edilebilir
• $0.10 < \theta_i \leq 0.30$: Yaklaşık büyütme katsayısı $1/(1-\theta_i)$ uygulanır
• $\theta_i > 0.30$: Yapı dengesizdir, sistem yeniden tasarlanmalıdır

7.2 TS EN 1993-1-1 Elastik Burkulma Yükü Katsayısı

Çelik yapılarda TS EN 1993-1-1 Madde 5.2.1:

$$\alpha_{cr} = \frac{F_{cr}}{F_{Ed}}$$

• $\alpha_{cr} \geq 10$: İkinci mertebe analiz gerekli değil (birinci mertebe yeterli)
• $4 \leq \alpha_{cr} < 10$: İkinci mertebe analiz gerekli
• $\alpha_{cr} < 4$: Elastoplastik ikinci mertebe analiz gerekli

7.3 Dinamik Analiz

Doğrusal zamana bağlı dinamik çözüm için hareket denklemi:

$$[M]\{\ddot{u}\} + [C]\{\dot{u}\} + [K]\{u\} = \{F(t)\}$$

Modal analizde $[M]$ ve $[K]$ köşegenleştirilir; her mod bağımsız SDOF sistemi olarak çözülür.

8. Uygulama Akışı

9. Çözümlü Problemler

Problem 1: Tek Açıklıklı Çelik Portal Çerçeve

Veriler:

• Çelik S275: $E = 210\;000$ MPa
• Kolon profili HEA 200: $I = 3\,692\;$cm$^4$, $A = 53.83\;$cm$^2$
• Kiriş profili IPE 240: $I = 3\,892\;$cm$^4$, $A = 39.12\;$cm$^2$
• Kolon yüksekliği $h = 4.0$ m, kiriş açıklığı $L = 6.0$ m
• Her iki kolon tepesine yatay $H = 20$ kN
• Kirişe yayılı $w = 15$ kN/m düşey yük
• Her iki kolon dibi ankastre

Çözüm:

Kolon için $\alpha = 90°$, kiriş için $\alpha = 0°$.

Kolon lokal rijitlik parametreleri:

$$\frac{EA}{L}\bigg|_{kol} = \frac{210\,000 \times 53.83}{400} = 28\,259\;\text{kN/cm}$$ $$\frac{12EI}{L^3}\bigg|_{kol} = \frac{12 \times 210\,000 \times 3\,692}{400^3} = 144.6\;\text{kN/cm}$$ $$\frac{6EI}{L^2}\bigg|_{kol} = \frac{6 \times 210\,000 \times 3\,692}{400^2} = 28\,935\;\text{kN}$$ $$\frac{4EI}{L}\bigg|_{kol} = \frac{4 \times 210\,000 \times 3\,692}{400} = 7\,733\,400\;\text{kN\cdot cm}$$

Kiriş lokal rijitlik parametreleri ($\alpha = 0°$, $L = 600$ cm):

$$\frac{12EI}{L^3}\bigg|_{kir} = \frac{12 \times 210\,000 \times 3\,892}{600^3} = 76.4\;\text{kN/cm}$$ $$\frac{4EI}{L}\bigg|_{kir} = \frac{4 \times 210\,000 \times 3\,892}{600} = 5\,445\,200\;\text{kN\cdot cm}$$

Kiriş sabit uç momentleri:

$$M_{bc}^0 = -\frac{15 \times 6^2}{12} = -45\;\text{kN\cdot m}, \quad M_{cb}^0 = +45\;\text{kN\cdot m}$$

Yük vektörü düzenlenmesinin ardından 6 serbest DOF'lu indirgenmiş sistem çözümü (sayısal):

Tablo 2: Problem 1: Tek Açıklıklı Çelik Portal Çerçeve

Kat ötelemesi kontrolü (TBDY 2018 Madde 4.9.1):

$$\frac{\delta_{max}}{h} = \frac{2.79\;\text{mm}}{4000\;\text{mm}} = 0.000698 < 0.008 \quad \checkmark$$

P-Δ kontrolü: Toplam düşey yük $P = wL = 15 \times 6 = 90$ kN. Kat kesme kuvveti $V = 20$ kN:

$$\theta = \frac{90 \times 0.00279}{20 \times 4.0} = 0.0031 \ll 0.10 \quad \checkmark$$

Sonuç: Yatay tepe ötelemesi $\delta_H = 2.79$ mm, kat ötelemesi ve P-Δ kontrolleri sağlanmaktadır.

Problem 2: Betonarme Çerçeve — Etkin Rijitlik Etkisi

Veriler:

• Beton C30/37: $E_{cm} = 32\,837$ MPa, $G = 13\,682$ MPa
• Kolon 50×50 cm: $I_b = 50^4/12 = 52\,083\;$cm$^4$
• Kiriş 30×60 cm: $I_b = 30 \times 60^3/12 = 540\,000\;$cm$^4$
• Kolon yüksekliği $h = 3.5$ m, kiriş açıklığı $L = 5.0$ m
• Kolon tepesine $H = 60$ kN yatay yük
• Çatlamamış (brüt) ve TBDY 2018 etkin rijitlikli karşılaştırma

Çözüm:

TBDY 2018 etkin rijitlikleri:

$$EI_{kolon}^{eff} = 0.70 \times 32\,837 \times 52\,083 = 1.198 \times 10^9\;\text{kN\cdot cm}^2$$ $$EI_{kiriş}^{eff} = 0.35 \times 32\,837 \times 540\,000 = 6.208 \times 10^9\;\text{kN\cdot cm}^2$$

Lateral rijitlik karşılaştırması:

Tablo 3: Problem 2: Betonarme Çerçeve — Etkin Rijitlik Etkisi

Fark: Etkin rijitlik uygulandığında öteleme %43 artmaktadır. Bu fark, deprem hesabında önemli sonuçlara yol açar:

• Doğal periyot: $T \propto 1/\sqrt{K}$ → periyot %19 uzar
• Spektral ivme: Periyodun uzaması genellikle azalan ivme bölgesine geçişi anlamına gelir
• Göreli kat ötelemesi kontrolü daha kritik hâle gelir

$$\frac{\delta_{max}}{h}\bigg|_{etkin} = \frac{1.37\;\text{mm}}{3500\;\text{mm}} = 0.000391 < 0.008 \quad \checkmark$$

Problem 3: 5 Katlı Betonarme Bina — Modal Analiz ve Deprem Yükü

Veriler:

• Yer: Afyonkarahisar (ZD zemin sınıfı, $D_D$-2 deprem düzeyi)
• Tasarım spektrum parametreleri: $S_{DS} = 0.672$, $S_{D1} = 0.268$ g
• Bina yüksekliği $H_N = 15.0$ m (5 × 3.0 m kat)
• Betonarme çerçeve sistemi (R = 8, D = 3)
• Her kat ağırlığı $W_i = 1\,200$ kN (toplam $W = 6\,000$ kN)

Doğal periyot tahmini (TBDY 2018 Denklem 4.8):

Çözüm:

$$T_p = C_t \cdot H_N^x = 0.0765 \times 15.0^{0.75} = 0.0765 \times 6.978 = 0.534\;\text{s}$$

Betonarme çerçeveler için $C_t = 0.0765$, $x = 0.75$.

Tasarım spektral ivmesi:

$T_A \leq T_p \leq T_B$ bölgesi kontrolü ($T_A = 0.088$ s, $T_B = 0.399$ s):

$T_p = 0.534$ s $> T_B = 0.399$ s → azalan bölge:

$$S_{aR}(T_p) = \frac{S_{D1}}{T_p \cdot (R/I)} = \frac{0.268}{0.534 \times (8/1)} = 0.0627\;\text{g}$$

Toplam taban kesme kuvveti:

$$V_t = S_{aR}(T_p) \cdot W = 0.0627 \times 6\,000 = 376.4\;\text{kN}$$

TBDY 2018 alt sınır kontrolü: $V_{t,min} = 0.04 \cdot W = 240$ kN → $V_t = 376.4$ kN $> 240$ kN $\checkmark$

Kat deprem kuvvetleri dağılımı (Denklem 4.13):

$$F_i = V_t \cdot \frac{w_i \cdot h_i}{\sum_{j=1}^N w_j \cdot h_j}$$

Tablo 4: Problem 3: 5 Katlı Betonarme Bina — Modal Analiz ve Deprem Yükü

Kontrol: $\sum F_i = 344.2$ kN $\approx V_t$ (0.8% fark — yuvarlama) $\checkmark$

Göreli kat ötelemesi kontrolü:

Matris analizi ile hesaplanan maksimum göreli kat ötelemesi (1. kat, en kritik):

$$\Delta_1 = 8.4\;\text{mm}, \quad \frac{\Delta_1}{h_1} = \frac{8.4}{3000} = 0.0028 < 0.008 \quad \checkmark$$

P-Δ kontrolü (1. kat):

$$\theta_1 = \frac{P_1 \cdot \Delta_1}{V_1 \cdot h_1} = \frac{6\,000 \times 0.0084}{344.2 \times 3.0} = 0.049 < 0.10 \quad \checkmark$$

10. Sık Yapılan Hatalar

Tablo 5: Sık Yapılan Hatalar

11. Hesap Yazılımları ile İlişki

Ticari programlarda matris deplasma yönteminin uygulanması:

Tablo 6: Hesap Yazılımları ile İlişki

12. Temel Formüller Özeti

Tablo 7: Temel Formüller Özeti

Referanslar

• TS EN 1990:2021 — Yapıların Projelendirilmesi için Esaslar
• TS EN 1992-1-1:2004+AC:2010 — Beton Yapıların Tasarımı — Genel Kurallar
• TS EN 1993-1-1:2005+AC:2009 — Çelik Yapıların Tasarımı — Genel Kurallar
• TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği, Madde 4 (Analiz Yöntemleri, Tablo 4.2)
• TS 500:2000 — Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları
• Przemieniecki, J.S. — Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill
• Bathe, K.J. — Finite Element Procedures, MIT Press

Kaynaklar

1. BYKHY 2015.
2. TS EN 1991-1-2 — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu
3. Yapısal Analiz.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Yük Kombinasyonu Hesaplama
• Deprem Yükü Hesaplama (TBDY 2018)

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.