Kolon Etkileşim Diyagramı Çizimi ve Yorumu

1. N-M Etkileşim Diyagramı İlkesi
2. Kritik Noktalar
3. Basınç / Çekme Kontrollü Bölgeler
4. Diyagram Çizim Adımları
5. Normalize Edilmiş Diyagram
6. Narinlik Etkisi ve Moment Büyütmesi
7. Sayısal Örnek
8. Çift Eksenli Eğilme
9. Örnek Problemler
10. Yönetmelik Referansları
11. Sık Yapılan Hatalar
12. Kaynaklar

Konu Türü: Konu Sayfası | Seviye: İleri | Güncelleme: 2026-03-22 Yönetmelik: TS 500:2000 Madde 7.5 | TBDY 2018 Madde 7.3 | TS EN 1992-1-1:2004 Madde 6.1

Türkiye'de kolon etkileşim diyagramları TS 500:2000 Madde 7.5 (eksenel kuvvet ve eğilme birleşimi) ve TBDY 2018 Madde 7.3 (kolon tasarım kuralları) çerçevesinde hazırlanır. Deprem yönetmeliği kapsamındaki tüm yapılarda minimum C25/30 beton sınıfı ve B420C donatı çeliği kullanılması zorunludur (TBDY 2018 Madde 7.2.5).

1. N-M Etkileşim Diyagramı İlkesi

Temel varsayımlar (TS 500:2000 / TS EN 1992-1-1:2004 Madde 6.1.2):

1. Düzlem kesitler düzlem kalır — Bernoulli hipotezi (TS 500:2000 Madde 3.3)
2. Maksimum beton basınç birim deformasyonu: $\varepsilon_{cu} = 0{,}003$ (TS 500:2000); $0{,}0035$ (TS EN 1992-1-1:2004 Madde 3.1.7)
3. Çekme bölgesinde beton gerilmesi ihmal edilir (TS 500:2000 Madde 3.3.4)
4. Beton basınç bloğu: Eşdeğer Whitney dikdörtgen bloğu; ortalama basınç yoğunluğu $0{,}85 f_{cd}$, derinlik $a = k_1 c$
5. Donatı gerilme-birim deformasyon ilişkisi elastoplastik; pekleşme ihmal edilir

Malzeme dayanım değerleri (TS 500:2000 Tablo 3.1 ve Tablo 3.2):

Tablo 1: N-M Etkileşim Diyagramı İlkesi

$k_1$ katsayısı (TS 500:2000 eşdeğer dikdörtgen blok derinlik katsayısı):

$$k_1 = 0{,}85 - 0{,}006(f_{ck} - 25) \quad (0{,}64 \leq k_1 \leq 0{,}85)$$

Tablo 2: N-M Etkileşim Diyagramı İlkesi

Saha Notu: Türkiye'de çoğu projede C25/30 ile C30/37 beton ve B420C donatı kombinasyonu kullanılmaktadır. TBDY 2018 kapsamında en düşük beton sınıfı C25'tir; ancak sahada genellikle C30 tercih edilmektedir.

2. Kritik Noktalar

Nokta A — Saf Eksenel Basınç ($M = 0$)

$$N_0 = 0{,}85 \cdot f_{cd} \cdot (A_g - A_{s,\text{tot}}) + f_{yd} \cdot A_{s,\text{tot}}$$

• $A_g$: Brüt beton kesit alanı $\text{[mm}^2\text{]}$
• $A_{s,\text{tot}}$: Toplam boyuna donatı kesit alanı $\text{[mm}^2\text{]}$

TS 500:2000 Madde 7.4.1 — Eksenel basınç sınırı:

$$N_d \leq 0{,}9 \cdot f_{cd} \cdot A_c$$

TBDY 2018 Madde 7.3.1.2 — Deprem hesabı ek kısıtı:

$$N_d \leq 0{,}4 \cdot f_{ck} \cdot A_c$$

Her iki koşulun aynı anda sağlanması zorunludur.

Nokta B — Saf Eğilme ($N = 0$)

Eksenel kuvvet sıfır; yalnızca eğilme momenti taşınır:

$$M_0 = A_s \cdot f_{yd} \cdot \left(d - \frac{a}{2}\right)$$

Genel durum için kiriş taşıma gücü hesabı gibi çözülür (TS 500:2000 Madde 5.3).

Nokta D — Dengeli Kırılma Noktası (Balanced Point)

Beton maksimum kısalmasına ulaştığı anda çekme donatısı tam olarak akmaktadır:

$$c_b = \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_{sy}} \cdot d$$

B420C için ($\varepsilon_{sy} = 0{,}001826$):

$$c_b = \frac{0{,}003}{0{,}003 + 0{,}001826} \cdot d = 0{,}622 \cdot d$$

B500C için ($\varepsilon_{sy} = 0{,}002174$):

$$c_b = \frac{0{,}003}{0{,}003 + 0{,}002174} \cdot d = 0{,}580 \cdot d$$

Dengeli eksenel kuvvet:

$$N_b = 0{,}85 \cdot f_{cd} \cdot b \cdot a_b + A_s' \cdot f_{yd} - A_s \cdot f_{yd} \quad;\quad a_b = k_1 \cdot c_b$$

Dengeli moment (kesit ağırlık merkezine göre):

$$M_b = 0{,}85 f_{cd} \cdot b \cdot a_b \cdot \left(\frac{h}{2} - \frac{a_b}{2}\right) + A_s' \cdot f_{yd} \cdot \left(\frac{h}{2} - d'\right) + A_s \cdot f_{yd} \cdot \left(d - \frac{h}{2}\right)$$

Nokta E — Saf Eksenel Çekme

$$N_t = -(A_s + A_s') \cdot f_{yd}$$

3. Basınç / Çekme Kontrollü Bölgeler

Tablo 3: Basınç / Çekme Kontrollü Bölgeler

Saha Notu: Türkiye sismik bölgesinde (TBDY 2018 Madde 7.3.1.2 gereği) tasarım noktasının çekme kontrollü bölgede kalması zorunludur. Kolon kesit boyutlarının büyük seçilmesi ve donatı oranının $\rho = 0{,}01 \sim 0{,}02$ aralığında tutulması önerilmektedir.

4. Diyagram Çizim Adımları

Adım 1: Geometri ve Malzeme Parametrelerini Belirle

• Kesit boyutları: $b$, $h$, etkin yükseklik $d = h - c_{\text{nom}} - \phi_w - \phi/2$, $d'$
• Donatı alanları: $A_s$, $A_s'$
• Tasarım dayanımları: $f_{cd}$, $f_{yd}$, $k_1$
• $\varepsilon_{cu} = 0{,}003$ (TS 500:2000)

Tablo 4: Adım 1: Geometri ve Malzeme Parametrelerini Belirle

Adım 2: Farklı Tarafsız Eksen Derinlikleri İçin N-M Hesapla

$c$ değerini $c = 2h$'den (saf basınç) $c = 0$'a (saf çekme) doğru değiştirerek her $c$ için:

a) Beton basınç kuvveti:

$$C_c = 0{,}85 \cdot f_{cd} \cdot b \cdot a = 0{,}85 \cdot f_{cd} \cdot b \cdot k_1 \cdot c$$

b) Donatı birim deformasyonları:

$$\varepsilon_s' = \varepsilon_{cu} \cdot \frac{c - d'}{c} \quad \text{(basınç donatısı)}$$ $$\varepsilon_s = \varepsilon_{cu} \cdot \frac{d - c}{c} \quad \text{(çekme donatısı; } c < d \text{ için pozitif)}$$

c) Donatı gerilmeleri:

$$f_s' = \min(E_s \varepsilon_s',\; f_{yd}) \qquad f_s = \min(E_s |\varepsilon_s|,\; f_{yd})$$

d) Denge denklemleri (TS 500:2000 Madde 7.5):

$$N = C_c + A_s' f_s' - A_s f_s$$ $$M = C_c \left(\frac{h}{2} - \frac{a}{2}\right) + A_s' f_s' \left(\frac{h}{2} - d'\right) + A_s f_s \left(d - \frac{h}{2}\right)$$

Tablo 5: Adım 2: Farklı Tarafsız Eksen Derinlikleri İçin N-M Hesapla

Kaynak: Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR — Toros Üniversitesi, Betonarme-1 Ders Notları, Bölüm 11 (2023)

Adım 3: Özel Noktaları İşaretle ve Diyagramı Çiz

• A: $(N_0,\; 0)$ — Saf basınç
• D: $(N_b,\; M_b)$ — Dengeli nokta
• B: $(0,\; M_0)$ — Saf eğilme
• E: $(N_t,\; 0)$ — Saf çekme

Adım 4: Tasarım Noktasını Kontrol Et

Tasarım $(N_d, M_d)$ noktası diyagram içinde kalmalıdır (TS 500:2000 Madde 7.5.2).

5. Normalize Edilmiş Diyagram

Pratikte boyutsuz parametreler kullanılarak farklı kesit boyutlarına uygulanabilir evrensel diyagramlar elde edilir:

$$\nu = \frac{N_d}{f_{cd} \cdot b \cdot h} \quad;\quad \mu = \frac{M_d}{f_{cd} \cdot b \cdot h^2}$$

Mekanik donatı oranı (mechanical reinforcement ratio):

$$\omega = \frac{A_{s,\text{tot}} \cdot f_{yd}}{b \cdot h \cdot f_{cd}}$$

Tablo 6: Normalize Edilmiş Diyagram

Dikkat: AYDIN/AKGÜN/TOPÇU tabloları yalnızca dikdörtgen kesit ve belirli donatı planları için geçerlidir. Farklı donatı düzeni seçildiğinde tablo parametrelerinin doğru eşleştirilmesi kritiktir; aksi takdirde %20–40 hata payı oluşabilir.

6. Narinlik Etkisi ve Moment Büyütmesi

Narinlik oranı belirli bir sınırı aştığında, birinci mertebe momentleri doğrudan tasarımda kullanılamaz. Bu durumda moment büyütme yöntemi uygulanır (TS 500:2000 Madde 7.6).

6.1 Narinlik Oranı

$$\lambda = \frac{l_k}{i} \quad;\quad i = \begin{cases} 0{,}3h & \text{(dikdörtgen, eğilme yönünde h)} \\ 0{,}25D & \text{(dairesel)} \end{cases}$$

Tablo 7: Narinlik Oranı

6.2 Moment Büyütme Katsayısı

Yanal öteleme önlenmiş kolonlarda:

$$\beta = \frac{C_m}{1 - 1{,}3 \cdot \dfrac{N_d}{N_k}} \geq 1{,}0$$ $$C_m = 0{,}6 + 0{,}4 \cdot \frac{M_1}{M_2} \geq 0{,}4$$

Yanal öteleme önlenmemiş kolonlarda (kat bazında):

$$\beta_s = \frac{1}{1 - 1{,}3 \cdot \dfrac{\sum N_d}{\sum N_k}}$$

Euler burkulma yükü:

$$N_k = \frac{\pi^2 E I}{l_k^2}$$

Tasarım büyütülmüş momenti:

$$M_d^* = \beta \cdot M_2 \geq M_2 \quad \text{(TS 500:2000 Madde 7.6.4)}$$

7. Sayısal Örnek

Aşağıdaki örnek Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Prof. Dr. Ahmet TOPÇU Betonarme-1 ders notlarından alınmıştır (2026 baskısı, sayfa 204–206).

Kesit: 350×700 mm, simetrik donatı Malzeme: C25/30 ($f_{ck} = 25\text{ MPa}$, $f_{cd} = 16{,}67\text{ MPa}$, $k_1 = 0{,}85$); B420C ($f_{yd} = 365{,}22\text{ MPa}$) Beton örtüsü: 40 mm

Tasarım yükleri:

• $N_d = 1000\text{ kN}$
• $M_{xd} = 600\text{ kNm}$
• $M_{yd} = 150\text{ kNm}$

Adım 1 — Yönetmelik kontrolleri:

$A_c = 350 \times 700 = 245\,000\text{ mm}^2$

TS 500:2000 Madde 7.4.1:

$$N_d = 1000\text{ kN} \leq 0{,}9 \times 16{,}67 \times 245\,000 / 1000 = 3776\text{ kN} \quad \checkmark$$

TBDY 2018 Madde 7.3.1.2:

$$N_d = 1000\text{ kN} \leq 0{,}4 \times 25 \times 245\,000 / 1000 = 2450\text{ kN} \quad \checkmark$$

Minimum moment (TS 500:2000 Madde 6.3.10):

$$M_{xd,\min} = (15 + 0{,}03 \times 700) \times 1000 \times 10^{-3} = 36\text{ kNm} \leq 600 \quad \checkmark$$ $$M_{yd,\min} = (15 + 0{,}03 \times 350) \times 1000 \times 10^{-3} = 25{,}5\text{ kNm} \leq 150 \quad \checkmark$$

Adım 2 — Boyutsuz parametreler:

$$n = \frac{1000 \times 10^3}{16{,}67 \times 350 \times 700} = 0{,}245$$ $$m_x = \frac{100 \times 600 \times 10^6}{16{,}67 \times 350 \times 700^2} = 21{,}0$$ $$m_y = \frac{100 \times 150 \times 10^6}{16{,}67 \times 700 \times 350^2} = 10{,}5$$

Adım 3 — Tablolardan ω oku:

AYDIN/AKGÜN/TOPÇU tablosu (4. çözüm — dört kenara eşit dağıtım): $\omega = 47$

Adım 4 — Donatı alanı:

$$A_{st} = \frac{47 \times 350 \times 700 \times 16{,}67}{100 \times 365{,}22} = 5256\text{ mm}^2$$

Adım 5 — Donatı seçimi:

Her kenara eşit dağıtım: $5256/4 = 1314\text{ mm}^2$ → Her kenar: 3Ø24 = 1357 mm² → Toplam: 12Ø24 = 5428 mm²

Donatı oranı: $\rho = 5428 / (350 \times 700) = 0{,}022$ — $0{,}01 \leq 0{,}022 \leq 0{,}04$ (TS 500 Madde 7.4.3 / TBDY 2018 Madde 7.3.4)

8. Çift Eksenli Eğilme (Biaxial Bending)

Gerçek yapılarda kolon her iki eksende (x ve y) aynı anda moment taşır. Tam kesit çözümü üç boyutlu etkileşim yüzeyi gerektirir.

8.1 Bresler Karşılıklı Yük Yöntemi (ACI 318-19)

$$\frac{1}{P_n} = \frac{1}{P_{nx}} + \frac{1}{P_{ny}} - \frac{1}{P_0}$$

• $P_{nx}$: x ekseni momentine göre tek eksenli kapasitede eksenel kuvvet
• $P_{ny}$: y ekseni momentine göre tek eksenli kapasitede eksenel kuvvet
• $P_0$: Saf eksenel basınç kapasitesi

Geçerlilik sınırı: $P_n \geq 0{,}10 P_0$

8.2 Yük Kontur Yöntemi (TS EN 1992-1-1:2004 Madde 5.8.9)

$$\left(\frac{M_{dx}}{M_{rx}}\right)^\alpha + \left(\frac{M_{dy}}{M_{ry}}\right)^\alpha \leq 1{,}0$$

Tablo 8: Yük Kontur Yöntemi (TS EN 1992-1-1:2004 Madde 5.8.9)

8.3 Üç Boyutlu Etkileşim Yüzeyi

Tam hesap için tarafsız eksenin eğim açısı $\theta$ değiştirilerek N-Mx-My üçlülerini bağlayan eğri yüzey elde edilir. Bu hesap bilgisayar yazılımı (SAP2000, ETABS, İdeCad vb.) ile yapılır.

Dikkat: TBDY 2018 Madde 7.6 kapsamındaki kolon hesaplarında tam üç boyutlu etkileşim yüzeyi veya Bresler yöntemi kullanılması beklenmektedir.

9. Örnek Problemler

Problem 1 — Kolay

Veriler:

• Kesit: $b = 300\text{ mm}$, $h = 500\text{ mm}$
• Beton: C25/30 → $f_{cd} = 16{,}67\text{ MPa}$, $k_1 = 0{,}85$
• Donatı: B420C → $f_{yd} = 365{,}22\text{ MPa}$
• Her iki yüze $A_s = A_s' = 3\text{Ø}17 = 682\text{ mm}^2$, $d = 465\text{ mm}$, $d' = 35\text{ mm}$

İstenen: Dengeli nokta $(N_b, M_b)$ koordinatları

Çözüm:

$$\varepsilon_{sy} = f_{yd}/E_s = 365{,}22/200\,000 = 0{,}001826$$ $$c_b = \frac{0{,}003}{0{,}003 + 0{,}001826} \times 465 = 0{,}622 \times 465 = 289\text{ mm}$$ $$a_b = 0{,}85 \times 289 = 245{,}7\text{ mm}$$ $$C_c = 0{,}85 \times 16{,}67 \times 300 \times 245{,}7 = 1065\text{ kN}$$ $$\varepsilon_s' = 0{,}003 \times \frac{289-35}{289} = 0{,}00264 > \varepsilon_{sy} \Rightarrow f_s' = 365{,}22\text{ MPa}$$ $$C_s' = 682 \times 365{,}22 = 249\text{ kN}$$ $$N_b = C_c + C_s' - A_s f_{yd} = 1065 + 249 - 249 = 1097\text{ kN}$$ $$M_b = 1065 \times (250 - 245{,}7/2) + 249 \times (250-35) + 249 \times (465-250) = 242\text{ kNm}$$

Sonuç: $N_b = 1097\text{ kN}$; $M_b \approx 234\text{ kNm}$

Problem 2 — Orta

Veriler:

• Kesit: 350×700 mm; C25/30; B420C; örtü: 40 mm
• $N_d = 1000\text{ kN}$; $M_{xd} = 600\text{ kNm}$; $M_{yd} = 150\text{ kNm}$

Çözüm: (Bölüm 7'deki Sayısal Örnekle özdeş)

$n = 0{,}245$; $m_x = 21{,}0$; $m_y = 10{,}5$; $\omega = 47$

$$A_{st} = 5256\text{ mm}^2 \Rightarrow \textbf{12Ø24 = 5428 mm}^2; \; \rho = 0{,}022$$

Problem 3 — Zor

Veriler:

• Kesit: 350×700 mm; C25/30; B420C; örtü: 40 mm
• 5 etki: G, Q, Ex, Ey, T → 10 kombinasyon

En elverişsiz kombinasyon ($F_d = 1{,}0G + 1{,}0Q + 1{,}0E_y$, alt uç):

Çözüm:

$$N_d = 750\text{ kN};\quad M_{xd} = 325\text{ kNm};\quad M_{yd} = 275\text{ kNm}$$

Boyutsuz parametreler:

$$n = \frac{750 \times 10^3}{16{,}67 \times 350 \times 700} = 0{,}184$$ $$m_x = \frac{100 \times 325 \times 10^6}{16{,}67 \times 350 \times 700^2} = 11{,}37 \qquad m_y = \frac{100 \times 275 \times 10^6}{16{,}67 \times 700 \times 350^2} = 19{,}26$$

$\omega \approx 47{,}5 \Rightarrow A_{st} = 6177\text{ mm}^2$ → 20Ø20 = 6283 mm²; $\rho = 0{,}026$

Kontroller:

• $750 \leq 3776\text{ kN}$ (TS 500 Madde 7.4.1)
• $750 \leq 2450\text{ kN}$ (TBDY 2018 Madde 7.3.1.2)
• $0{,}01 \leq 0{,}026 \leq 0{,}04$

Sonuç: 20Ø20 (6283 mm²); $\rho = 0{,}026$

9.4 Tasarım Akışı

10. Yönetmelik Referansları

Tablo 9: Kaynak Referansları

11. Sık Yapılan Hatalar

Tablo 10: Sık Yapılan Hatalar

Saha Notu: Türkiye'de eski yapı stoğunda C16–C20 betonla inşa edilmiş kolonlar mevcuttur. Bu yapılarda kapasite tespiti için önce karot deneyi ile gerçek dayanım belirlenmeli, ardından etkileşim diyagramı oluşturulmalıdır.

12. Kaynaklar

1. TS 500:2000 — Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları — Madde 7.4, 7.5, 7.6, 6.3.10
2. TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği — Madde 7.2.5, 7.3.1.2, 7.3.4, 17.4.1.1
3. TS EN 1992-1-1:2004 — Betonarme Yapıların Tasarımı Bölüm 1-1 — Madde 6.1, 5.8.9, 3.1.7
4. ACI 318-19 — Building Code Requirements for Structural Concrete — Section 22.4, 22.5
5. TOPÇU, A. — Betonarme-1 Ders Notları, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi (2026)
6. DÜNDAR, C., KARAAHMETLİ, S. — Betonarme-1 Ders Notları, Toros Üniversitesi, Bölüm 11 (2023)
7. ERSOY, U. vd. — Taşıma Gücü El Kitabı, ODTÜ, Ankara (1980)
8. CELEP, Z. — Betonarme Yapılar (Beta Basım, güncel baskı)
9. Bresler, B. (1960) — Design criteria for reinforced concrete columns under axial load and biaxial bending. ACI Journal Proceedings, 57(11), 481–490.
10. TS 498:1997 — Yapı Elemanlarının Boyutlandırılmasında Alınacak Yüklerin Hesap Değerleri

Kaynakça

1. İlgili Türk Standartları (TS) ve Avrupa Normları (EN)
2. TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği
3. İlgili ders kitapları ve teknik kaynaklar

Not: Bu makale eğitim amaçlıdır. Projelerde güncel yönetmelik ve standartlara başvurunuz.

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Kolon Boyutlandırma Hesaplama
• Kolon Donatısı Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.