Kiriş Plastik Mafsal Analizi: Doğrusal Olmayan Davranış

Özet

Plastik mafsal analizi (plastic hinge analysis), betonarme taşıyıcı sistemlerin doğrusal olmayan (nonlinear) davranışını inceleyerek elemanların plastik dönme kapasitelerini ve moment yeniden dağılımını (moment redistribution) değerlendirir. TBDY 2018 Bölüm 5, doğrusal olmayan hesapta kullanılan yığılı plastik davranış (plastik mafsal) modelini (Madde 5.3.1) ve yeni betonarme elemanlar için izin verilen şekil değiştirme ve plastik dönme sınırlarını (Madde 5.8.1) tanımlar. Bu makale; plastik mafsal konumlarının belirlenmesi, plastik mafsal uzunluğu hesabı, moment-eğrilik (M-φ) ilişkisi, Türkiye saha koşullarına özgü uyarılar ve üç kademeli çözümlü örnek problemi kapsamaktadır. TS 500:2000 Madde 6.3.8, TBDY 2018 Bölüm 5 ve TS EN 1992-1-1:2004 (EC2) Madde 5.5 temel başvuru kaynaklarıdır.

Tanım ve Temel İlke

Plastik mafsal (plastic hinge): Betonarme bir kirişte eğilme momenti taşıma kapasitesine (moment kapasitesi M_p) ulaşıldığında, o kesitte elastik dönme yerine sınırsız plastik dönmenin gerçekleştiği varsayılan ideal bölgedir. Gerçekte bu bölge belirli bir uzunluğa (l_p) yayılmıştır.

Moment yeniden dağılımı (moment redistribution): Statik belirsiz sistemlerde, bir kesitte plastik mafsalın oluşması ile o kesitteki moment sabit kalırken komşu kesimlere moment aktarılmasıdır. TS 500:2000 Madde 6.3.8 ve EC2 Madde 5.5 kapsamında, yeniden dağılım miktarı donatı oranına bağlı olarak sınırlandırılır.

Temel Kavramlar

• Akma momenti (M_y): Donatının akma başladığı andaki moment değeri.
• Plastik moment (M_p): Kesit tam plastik duruma geçtiğinde taşınan maksimum moment.
• Eğrilik (φ): Birlik uzunluk başına bükülme miktarı; φ = ε / y.
• Plastik dönme kapasitesi (θ_p): Plastik mafsal bölgesinde gerçekleşebilecek maksimum plastik dönme açısı.
• Şekil değiştirme sünekliği (μ_φ): Nihai eğrilik ile akma eğriliğinin oranı.

Saha Notu: TBDY 2018'de kiriş sünekliği bir eğrilik sünekliği alt sınırıyla değil, Bölüm 7'deki sarılma ve detay kuralları ile Madde 5.8.1'deki şekil değiştirme sınırlarıyla güvence altına alınır. Yüksek deprem tehlikesi olan bölgelerde (DTS=1, 1a, 2, 2a) bu kurallar kiriş detaylarını çoğu zaman doğrudan belirler.

Dikkat: Plastik mafsalın oluşması kirişteki hasara eşdeğerdir. Ancak plastik mafsalların kirişlerde (kolonlarda değil) oluşması, "güçlü kolon–zayıf kiriş" ilkesi gereği istenilen bir davranıştır ve yapının sünekliğini artırır.

1. Plastik Mafsal Oluşum Mekanizması

1.1 Güçlü Kolon – Zayıf Kiriş İlkesi

TBDY 2018 Madde 7.3.5'e göre yalnız çerçevelerden ya da perde ve çerçevelerin birleşiminden oluşan sistemlerde, her kolon-kiriş düğüm noktasına birleşen kolonların taşıma gücü momentleri toplamı, kirişlerin kolon yüzündeki taşıma gücü momentleri toplamından en az %20 büyük olmalıdır. Bu ilkenin amacı, deprem sırasında plastik mafsalların kolonlarda değil kirişlerde oluşmasını sağlamak ve böylece göçme mekanizması oluşmadan önce yapının yeterli enerji sönümlemesine izin vermektir. Kirişlerde plastik mafsal = kontrol edilebilir hasar; kolonlarda plastik mafsal = yapı stabilitesinin tehlikesi anlamına gelir.

1.2 Moment-Eğrilik (M-φ) İlişkisinin Evreleri

Betonarme kiriş kesitinin M-φ ilişkisi üç aşamada incelenir:

1. Elastik aşama (M < M_cr): Çatlamadan önceki lineer elastik davranış; EI tam kesit rijitliği.
2. Çatlaklı elastik aşama (M_cr < M < M_y): Çatlama sonrası azalmış rijitlik EI_cr; donatı henüz akmamıştır.
3. Plastik aşama (M_y < M ≤ M_p): Donatı aktıktan sonra moment artışı sınırlıdır; büyük eğrilik artışı gerçekleşir.

Saha Notu: Türkiye'de C25–C30 beton sınıfı en yaygın kullanılan beton sınıfıdır. S420a çeliği ile birlikte kullanıldığında çatlaklı elastik evre daha uzun sürmekte ve plastik bölge görece geniş olmaktadır. C40 ve üzeri dayanımlı betonlarda ise eğrilik sünekliği azalma eğilimi göstermektedir.

2. Tasarım / Hesap Yöntemi

2.1 Adım 1 — Moment-Eğrilik İlişkisinin Kurulması

Akma eğriliği (kesit kinematiğinden):

$${\phi }_y=\frac{{\epsilon }_{sy}}{d-c_y}$$

Burada $c_y$, akma anındaki tarafsız eksen derinliği; ${\epsilon }_{sy}=f_{yd}/E_s$'dir.

Nihai (göçme öncesi) eğrilik:

$${\phi }_u=\frac{{\epsilon }_{cu}}{c_u}$$

Burada ${\epsilon }_{cu}$ kesitin en dış beton lifindeki birim kısalmadır. TBDY 2018 Madde 5.8.1.1'e göre yeni betonarme elemanlarda Göçmenin Önlenmesi (GÖ) performans düzeyi için dikdörtgen kesitli kolon, kiriş ve perdelerde izin verilen beton birim kısalması:

$${\epsilon }_c^{(G\ddot{O})}=0,0035+0,04\sqrt{{\omega }_{we}}\le 0,018\text{(TBDY 2018 Denklem 5.4a)}$$

Bağıntıdaki ilk terim (0,0035) sargısız kabuk betonunun birim kısalmasına karşılık gelir. Dikkat: Üst sınır 0,018'dir; Kontrollü Hasar düzeyi için izin verilen değer $0,75{\epsilon }_c^{(G\ddot{O})}$, Sınırlı Hasar için 0,0025'tir (Madde 5.8.1.3, 5.8.1.4).

2.2 Adım 2 — Şekil Değiştirme Sünekliği Hesabı

$${\mu }_{\phi }=\frac{{\phi }_u}{{\phi }_y}$$

TBDY 2018 kirişler için ayrı bir en küçük eğrilik sünekliği (${\mu }_{\phi }$) değeri tanımlamaz; ${\mu }_{\phi }$ kesitin süneklik göstergesi olarak kullanılır. Yeni betonarme elemanlar için izin verilen sınırlar birim şekil değiştirme ve plastik dönme cinsinden Madde 5.8.1'de verilir:

Saha Notu: Deprem Tasarım Sınıfı, DD-2 düzeyindeki kısa periyot tasarım spektral ivme katsayısı $S_{DS}$ ve bina kullanım sınıfına göre TBDY 2018 Tablo 3.2'den belirlenir; $S_{DS}$ değeri AFAD Türkiye Deprem Tehlike Haritaları'ndan parsel koordinatına göre alınır.

2.3 Adım 3 — Mekanik Sargı Oranı

$${\omega }_{we}={\alpha }_{se}{\rho }_{sh,min}\frac{f_{ywe}}{f_{ce}}\text{(TBDY 2018 Denklem 5.4c)}$$

Burada ${\alpha }_{se}$ sargı donatısı etkinlik katsayısı, ${\rho }_{sh,min}$ iki yatay doğrultudaki hacimsel enine donatı oranlarının küçüğü, $f_{ywe}$ ve $f_{ce}$ beklenen (ortalama) akma ve beton dayanımlarıdır (Tablo 5.1: $f_{ce}=1,3f_{ck}$, $f_{ye}=1,2f_{yk}$). Aşağıdaki öğretici örneklerde basitleştirilmiş ${\omega }_{we}\approx A_{sw}{f}_{yw}/(s{b}_0{f}_{cd})$ kullanılmıştır; bu yaklaşım Denklem 5.4c ile aynı sonucu vermez.

2.4 Adım 4 — Plastik Mafsal Uzunluğunun Belirlenmesi

Plastik mafsal uzunluğu için literatürde ampirik bağıntılar vardır; örneğin Paulay ve Priestley (1992):

$$l_p=0,08\cdot L+0,022\cdot f_{yd}\cdot d_b$$

Burada $L$ = plastik mafsaldan sıfır moment noktasına uzaklık (mm), $d_b$ = boyuna donatı çapı (mm), $f_{yd}$ = tasarım akma dayanımı (MPa).

TBDY 2018'deki yığılı plastik davranış modelinde plastik mafsal boyu, çalışan doğrultudaki kesit boyutunun yarısına eşit alınır (Madde 5.3.1.2):

$$L_p=0,5h$$

2.5 Adım 5 — Plastik Dönme Kapasitesi

$${\theta }_p^{(G\ddot{O})}=\frac{2}{3}\left[({\phi }_u-{\phi }_y)L_p\left(1-0,5\frac{L_p}{L_s}\right)+4,5{\phi }_u{d}_b\right]\text{(TBDY 2018 Denklem 5.6)}$$

Burada ${\phi }_u$ Madde 5.8.1.1'deki birim şekil değiştirmeler ve Ek 5A malzeme modelleriyle, eksenel kuvvet dikkate alınarak yapılan eğrilik analizinden bulunan göçme öncesi eğrilik, $L_s$ kesme açıklığı (kiriş ve kolonlarda yaklaşık açıklığın yarısı), $d_b$ boyuna donatı çapıdır; son terim donatı sıyrılmasından gelen dönmeyi temsil eder. Kontrollü Hasar için ${\theta }_p^{(KH)}=0,75{\theta }_p^{(G\ddot{O})}$, Sınırlı Hasar için ${\theta }_p^{(SH)}=0$ alınır (Madde 5.8.1.3, 5.8.1.4).

2.6 Adım 6 — Moment Yeniden Dağılımı Kontrolü

EC2 (TS EN 1992-1-1:2004) Madde 5.5'e göre doğrusal analizde yeniden dağılım oranı δ (yeniden dağılım sonrası moment / elastik moment), $f_{ck}\le 50$ MPa için önerilen katsayılarla şu koşulu sağlamalıdır; B ve C sınıfı donatıda ayrıca δ ≥ 0,7 önerilir (ulusal ek farklı değer verebilir):

$$\delta \ge 0,44+1,25\cdot \frac{x_u}{d}\text{(EC2 Denklem 5.10a)}$$

TS 500:2000 Madde 6.3.8'e göre doğrusal elastik çözümlemeden bulunan mesnet momentleri aşağıdaki oranlarda değiştirilebilir; açıklık momentleri de denge koşulunu sağlayacak biçimde yeniden hesaplanır (Denklem 6.14):

$$(\rho -{\rho }^{\prime })\le 0,4{\rho }_b\Rightarrow \text{en fazla }\%15;0,4{\rho }_b<(\rho -{\rho }^{\prime })\le 0,6{\rho }_b\Rightarrow \text{en fazla }\%10$$

Dengeli donatı oranı ${\rho }_b$, TS 500:2000 Madde 7.1 varsayımlarıyla (${\epsilon }_{cu}=0,003$, $k_1$ Çizelge 7.1'den) kesit dengesinden bulunur:

$${\rho }_b=0,85\cdot k_1\cdot \frac{f_{cd}}{f_{yd}}\cdot \frac{0,003}{0,003+{\epsilon }_{sy}}$$

Dikkat: $(\rho -{\rho }^{\prime })>0,6{\rho }_b$ olan kesitlerde TS 500'e göre moment yeniden dağılımı yapılmaz. %15'in üzerindeki azaltmalar TS 500 kapsamında değildir.

3. Formüller — Özet Tablo

4. Tipik Eğrilik Sünekliği Değerleri

Eğrilik sünekliği; çekme donatısı oranı ve eksenel basınç arttıkça azalır, sargı donatısı ve basınç donatısı arttıkça artar. Kesin değer, kesitin Ek 5A malzeme modelleriyle yapılan moment-eğrilik analiziyle bulunur; TBDY 2018 bu büyüklük için bir alt sınır vermez, izin verilen sınırlar Tablo 2'deki şekil değiştirme ve plastik dönme değerleridir.

Saha Notu: Eski yönetmeliklere göre tasarlanmış binalarda yetersiz sargı donatısı ve yüksek boyuna donatı oranı birlikte görülebilir; bu durum kesitin eğrilik sünekliğini azaltır. Deprem sonrası hasar gözlemleri, kiriş ve kolon uçlarındaki sargı yetersizliğinin gevrek hasarı artırdığını göstermektedir.

5. Sarılma Bölgesi Tasarımı (TBDY 2018 Madde 7.4)

Plastik mafsal bölgelerine karşılık gelen kiriş sarılma bölgeleri TBDY 2018 Madde 7.4.4'te düzenlenmektedir.

5.1 Sarılma Bölgesi Tanımı ve Kapsamı

• Sarılma bölgesi uzunluğu: Kolon yüzünden itibaren kiriş yüksekliğinin iki katı (2h) uzunluktaki bölge. (TBDY 2018 Madde 7.4.4)
• Minimum etriye çapı: Ø8'den küçük çaplı enine donatı kullanılmaz.
• İlk etriyenin konumu: Kolon yüzüne uzaklığı en çok 50 mm olacaktır.

5.2 Sarılma Bölgesi Etriye Aralığı Sınırları

TBDY 2018 Madde 7.4.4 uyarınca sarılma bölgelerinde etriye aralığı $s^{\prime }$ (kiriş etkili yüksekliği $d$ olmak üzere):

$$s^{\prime }\le \min \left(\frac{d}{4},8\cdot d_b,150\text{mm}\right)$$

Sarılma bölgesi dışında TS 500:2000 Madde 8.1.6 koşulları uygulanır ($V_d>3V_{cr}$ ise $s\le d/4$):

$$s\le \frac{d}{2}$$

Saha Notu: TBDY 2018 Madde 7.4.4'e göre kiriş eksenine dik doğrultuda etriye kolları arasındaki uzaklık 350 mm'yi aşamaz. Geniş kirişlerde bu koşul çoğu zaman iç etriye (çift etriye) ya da çiroz kullanımını gerektirir; uygulamada yapı denetiminde kontrol edilmesi yararlıdır.

6. Sargılı Beton Modeli ve TBDY 2018 Ek 5A

Sargılı beton davranışı TBDY 2018 Ek 5A kapsamında Mander vd. (1988) modeline dayalı olarak tanımlanmaktadır. Sargılı beton basınç dayanımı:

$$f_{cc}={\lambda }_c{f}_{co};{\lambda }_c=2,254\sqrt{1+7,94\frac{f_e}{f_{co}}}-2\frac{f_e}{f_{co}}-1,254\text{(TBDY 2018 Denklem 5A.2)}$$

Burada $f_{co}$ sargısız beton dayanımı, $f_e$ etkili sargılama basıncıdır (MPa). Sargılı betonlarda:

• Basınç dayanımı sargı basıncına bağlı olarak artar (${\omega }_{we}$ büyüdükçe artış büyür)
• İzin verilen beton birim kısalması 0,0035'ten Denklem 5.4a ile en çok 0,018'e kadar çıkabilir
• Bu artış doğrudan ${\mu }_{\phi }$'nin artmasını sağlar

Dikkat: TBDY 2018 Denklem 5.4a'daki ${\epsilon }_c^{(G\ddot{O})}\le 0,018$ üst sınırı, sargı oranı ne kadar yüksek olursa olsun aşılmaz; Kontrollü Hasar düzeyinde bu değerin 0,75 katı kullanılır (Denklem 5.7a).

7. TBDY 2018 Performans Düzeyleri ve Plastik Mafsal Sınırları

TBDY 2018 Madde 5.8.1, yeni betonarme elemanlarda Sınırlı Hasar, Kontrollü Hasar ve Göçmenin Önlenmesi performans düzeyleri için izin verilen şekil değiştirme ve plastik dönme sınırlarını tanımlar; hedeflenen düzey, deprem yer hareketi düzeyine ve bina türüne göre Tablo 3.4'ten alınır.

TBDY 2018 Madde 5.8.1.2'ye göre Göçmenin Önlenmesi düzeyi için izin verilen plastik dönme ${\theta }_p^{(G\ddot{O})}$, kesite etkiyen eksenel kuvvet ve Ek 5A malzeme modelleriyle yapılan eğrilik analizinden Denklem 5.6 ile hesaplanır; Kontrollü Hasar sınırı bunun 0,75 katıdır (Madde 5.8.1.3).

9. Sayısal Örnekler

Aşağıdaki öğretici örneklerde hesap kolaylığı için tarafsız eksen derinliği eşdeğer dikdörtgen basınç bloğuyla (TS 500:2000 Madde 7.1, $k_1$ Çizelge 7.1) ve akma ile göçme anında aynı alınmıştır. TBDY 2018 Madde 5.8.1.2 ise ${\phi }_u$'nun Ek 5A malzeme modelleri ve beklenen dayanımlarla yapılan moment-eğrilik analizinden bulunmasını ister; bu nedenle sonuçlar yaklaşıktır.

Problem 1 — Temel Seviye

Veriler:

• Beton: C25 → f_ck = 25 MPa, f_cd = 16,7 MPa
• Çelik: S420a → f_yk = 420 MPa, f_yd = 365 MPa, E_s = 200.000 MPa
• Kiriş: b_w = 250 mm, h = 500 mm, d = 450 mm
• Çekme donatısı: 3Ø16 → A_s = 603 mm²
• Sargısız beton: ε_cu = 0,0035

İstenen: Akma eğriliği (φ_y), nihai eğrilik (φ_u) ve eğrilik sünekliği (μ_φ) hesabı.

Çözüm:

Adım 1 — Akma anı tarafsız eksen (β₁ = 0,85 için C25):

$$c_y=\frac{A_s\cdot f_{yd}}{0,85\cdot f_{cd}\cdot b_w\cdot {\beta }_1}=\frac{603\times 365}{0,85\times 16,7\times 250\times 0,85}=\frac{220095}{3012}=73,1\text{mm}$$

Adım 2 — Akma birim şekil değiştirmesi:

$${\epsilon }_{sy}=\frac{f_{yd}}{E_s}=\frac{365}{200000}=0,001825$$

Adım 3 — Akma eğriliği:

$${\phi }_y=\frac{0,001825}{450-73,1}=\frac{0,001825}{376,9}=4,84\times 10^{-6}\text{rad/mm}$$

Adım 4 — Sargısız beton, nihai birim şekil değiştirme ${\epsilon }_{cu}=0,0035$.

Adım 5 — Nihai eğrilik (tarafsız eksen derinliği $c_u\approx c_y=73,1\text{ mm}$ kabulü ile):

$${\phi }_u=\frac{0,0035}{73,1}=47,9\times 10^{-6}\text{rad/mm}$$

Adım 6 — Eğrilik sünekliği:

$${\mu }_{\phi }=\frac{47,9}{4,84}=9,9$$

Sonuç: ${\mu }_{\phi }=9,9$ (sargısız kiriş; TBDY 2018 kirişler için ${\mu }_{\phi }$ alt sınırı tanımlamaz, değer bilgi amaçlıdır)

Kontrol (TS 500:2000 Madde 7.3): ρ = 603 / (250 × 450) = 0,00536; TS 500 varsayımlarıyla (${\epsilon }_{cu}=0,003$, C25 için $k_1=0,85$) ρ_b = 0,85 × 0,85 × (16,7/365) × [0,003/(0,003+0,001825)] = 0,0206; ρ = 0,00536 < 0,85· ρ_b = 0,0175 ve ρ < 0,02 ✓

Problem 2 — Orta SeviyeVeriler:

• Beton: C30 → f_ck = 30 MPa, f_cd = 20,0 MPa
• Çelik: S420a → f_yk = 420 MPa, f_yd = 365 MPa, E_s = 200.000 MPa
• Kiriş: b_w = 300 mm, h = 550 mm, d = 500 mm
• Çekme donatısı: 4Ø20 → A_s = 1257 mm²
• Etriye: Ø10/100 mm (sarılma bölgesi); b_0 = 250 mm; f_yw = 365 MPa
• Kiriş açıklığı: L = 5000 mm; d_b = 20 mm

İstenen: Mekanik sargı oranı (ω_we), sargılı beton nihai birim şekil değiştirmesi (ε_cu,c), plastik mafsal uzunluğu (l_p) ve plastik dönme kapasitesi (θ_p).

Çözüm:

Adım 1 — Akma anı tarafsız eksen (TS 500:2000 Çizelge 7.1: C30 için $k_1=0,82$):

$$c_y=\frac{1257\times 365}{0,85\times 20,0\times 300\times 0,82}=\frac{458805}{4182}=109,7\text{mm}$$

Adım 2 — Akma eğriliği:

$${\epsilon }_{sy}=\frac{365}{200000}=0,001825;{\phi }_y=\frac{0,001825}{500-109,7}=4,68\times 10^{-6}\text{rad/mm}$$

Adım 3 — Mekanik sargı oranı (basitleştirilmiş; tek doğrultu, 2 kol Ø10):

$${\omega }_{we}=\frac{2\times 78,5\times 365}{100\times 250\times 20,0}=\frac{57305}{500000}=0,1146$$

Adım 4 — Göçmenin Önlenmesi için beton birim kısalması (TBDY 2018 Denklem 5.4a):

$${\epsilon }_{cu,c}=0,0035+0,04\times \sqrt{0,1146}=0,0035+0,01354=0,01704$$

$0,01704<0,018$ olduğundan üst sınır etkin değildir.

Adım 5 — Nihai eğrilik:

$${\phi }_u=\frac{0,01704}{109,7}=155,3\times 10^{-6}\text{rad/mm}$$

Adım 6 — Eğrilik sünekliği:

$${\mu }_{\phi }=\frac{155,3}{4,68}=33,2$$

Adım 7 — Plastik mafsal boyu (TBDY 2018 Madde 5.3.1.2):

$$L_p=0,5\times h=0,5\times 550=275\text{mm}$$

Adım 8 — Göçmenin Önlenmesi plastik dönme sınırı (TBDY 2018 Denklem 5.6; $L_s\approx L/2=2500$ mm, $d_b=20$ mm):

$${\theta }_p^{(G\ddot{O})}=\frac{2}{3}\left[(155,3-4,68)\times 10^{-6}\times 275\times \left(1-0,5\times \frac{275}{2500}\right)+4,5\times 155,3\times 10^{-6}\times 20\right]=\frac{2}{3}\left[0,03914+0,01398\right]=0,0354\text{rad}=35,4\text{mrad}$$

Kontrollü Hasar sınırı: ${\theta }_p^{(KH)}=0,75\times 35,4=26,6\text{mrad}$ (TBDY 2018 Denklem 5.7b).

Sonuç: ${\theta }_p^{(G\ddot{O})}\approx 35,4\text{ mrad}$, ${\theta }_p^{(KH)}\approx 26,6\text{ mrad}$; ${\mu }_{\phi }=33,2$. Sargı donatısı izin verilen birim kısalmayı ve dolayısıyla dönme kapasitesini belirgin biçimde artırmaktadır.

Problem 3 — Zor SeviyeVeriler (gerçek proje tipik kesit):

• Beton: C35 → f_ck = 35 MPa, f_cd = 23,3 MPa; bölge: İstanbul DTS 1a, S_DS = 0,85g
• Çelik: S420a → f_yd = 365 MPa, E_s = 200.000 MPa
• Kiriş: b_w = 350 mm, h = 600 mm, d = 540 mm
• Çekme donatısı: 5Ø22 → A_s = 1900 mm²; Basınç donatısı: 2Ø16 → A_s' = 402 mm²
• Etriye: Ø10/80 mm sarılma bölgesi; b_0 = 290 mm; f_yw = 365 MPa
• Kiriş açıklığı: L = 6000 mm; d_b = 22 mm
• Tasarım deprem: DD-1 (TBDY 2018), performans hedefi: Kontrollü Hasar (KH)

İstenen: (1) Mekanik sargı oranı ve ${\epsilon }_{cu,c}$ hesabı, (2) ${\mu }_{\phi }$ hesabı, (3) Göçmenin Önlenmesi plastik dönme sınırı ${\theta }_p^{(G\ddot{O})}$ ve Kontrollü Hasar sınırı ${\theta }_p^{(KH)}$ (TBDY 2018 Denklem 5.6 ve 5.7b), (4) Moment yeniden dağılımı için en büyük azaltım oranı (TS 500 + EC2).

Çözüm:

Bölüm 1 — Sargılı beton parametreleri

Akma anı tarafsız eksen (TS 500:2000 Çizelge 7.1: C35 için $k_1=0,79$):

$$c_y=\frac{(A_s-A_s^{\prime })\cdot f_{yd}}{0,85\cdot f_{cd}\cdot b_w\cdot k_1}=\frac{(1900-402)\times 365}{0,85\times 23,3\times 350\times 0,79}=\frac{546770}{5476}=99,8\text{mm}$$

Akma eğriliği:

$${\epsilon }_{sy}=\frac{365}{200000}=0,001825;{\phi }_y=\frac{0,001825}{540-99,8}=\frac{0,001825}{440,2}=4,15\times 10^{-6}\text{rad/mm}$$

Mekanik sargı oranı (basitleştirilmiş; 2 kol Ø10):

$${\omega }_{we}=\frac{2\times 78,5\times 365}{80\times 290\times 23,3}=\frac{57305}{540560}=0,1060$$

Göçmenin Önlenmesi için beton birim kısalması (TBDY 2018 Denklem 5.4a):

$${\epsilon }_{cu,c}=0,0035+0,04\sqrt{0,1060}=0,0035+0,01302=0,01652<0,018$$

Nihai eğrilik: ${\phi }_u=0,01652/99,8=165,5\times 10^{-6}\text{ rad/mm}$

Bölüm 2 — Eğrilik sünekliği

$${\mu }_{\phi }=\frac{165,5}{4,15}=39,9$$

TBDY 2018 kirişler için ${\mu }_{\phi }$ alt sınırı tanımlamaz; bu değer kesitin sünek davrandığını gösteren bir büyüklüktür.

Bölüm 3 — Plastik dönme sınırları (TBDY 2018 Madde 5.8.1.2 ve 5.8.1.3)

Plastik mafsal boyu (Madde 5.3.1.2): $L_p=0,5\times 600=300\text{mm}$; kesme açıklığı $L_s\approx L/2=3000\text{mm}$; $d_b=22$ mm.

$${\theta }_p^{(G\ddot{O})}=\frac{2}{3}\left[(165,5-4,15)\times 10^{-6}\times 300\times \left(1-0,5\times \frac{300}{3000}\right)+4,5\times 165,5\times 10^{-6}\times 22\right]=\frac{2}{3}\left[0,04598+0,01638\right]=0,0416\text{rad}=41,6\text{mrad}$$

TBDY 2018 Madde 5.8.1.3'e göre Kontrollü Hasar (KH) performans düzeyindeki izin verilen plastik dönme sınırı ${\theta }_p^{(KH)}=0,75{\theta }_p^{(G\ddot{O})}=0,75\times 41,6=31,2\text{ mrad}$ olur (Denklem 5.7b).

Gerçek plastik dönme talebi itme analizi sonucundan elde edilir. ${\theta }_p^{talep}\le {\theta }_p^{(KH)}=31,2\text{ mrad}$ koşulunun sağlandığı kontrol edilmelidir.

Bölüm 4 — Moment yeniden dağılımı

EC2 (TS EN 1992-1-1:2004) Madde 5.5 önerilen değerleriyle: $\delta \ge 0,44+1,25\times (99,8/540)=0,44+0,231=0,671$ → azaltım en çok $(1-0,671)\times 100=\%32,9$; B/C sınıfı donatıda $\delta \ge 0,7$ olduğundan EC2'ye göre en çok %30.

TS 500:2000 Madde 6.3.8: $\rho -{\rho }^{\prime }=(1900-402)/(350\times 540)=0,00793$; ${\rho }_b=0,85\times 0,79\times (23,3/365)\times [0,003/(0,003+0,001825)]=0,0267$; $0,4{\rho }_b=0,0107$. $\rho -{\rho }^{\prime }\le 0,4{\rho }_b$ olduğundan TS 500'e göre en fazla %15 azaltım yapılabilir.

Sonuç: ${\theta }_p^{(G\ddot{O})}\approx 41,6\text{ mrad}$, ${\theta }_p^{(KH)}\approx 31,2\text{ mrad}$; ${\mu }_{\phi }=39,9$; en büyük moment azaltımı %15 (TS 500 Madde 6.3.8 belirleyici)

10. Dikkat Edilmesi Gerekenler

1. Sargı donatısı kritik öneme sahiptir. ${\epsilon }_{cu,c}$ değeri doğrudan sargı mekanik oranı ${\omega }_{we}$'ye bağlıdır; sargısız betonlarda ${\epsilon }_{cu}=0,0035$ ile sınırlı kalır ve ${\mu }_{\phi }$ düşer.

2. TBDY 2018 ${\epsilon }_c^{(G\ddot{O})}\le 0,018$ sınırını aşmamak gerekir. Denklem 5.4a'dan daha büyük değer çıksa bile bu sınır uygulanır; Kontrollü Hasar için 0,75 katı kullanılır.

3. Moment yeniden dağılımı donatı oranıyla sınırlıdır. TS 500:2000 Madde 6.3.8'e göre $(\rho -{\rho }^{\prime })\le 0,4{\rho }_b$ ise en fazla %15, $0,4{\rho }_b<(\rho -{\rho }^{\prime })\le 0,6{\rho }_b$ ise en fazla %10 azaltım yapılabilir.

4. Plastik mafsal bölgesinde sıkıştırılmış etriye aralığı sınırlıdır. TBDY 2018 Madde 7.4.4 uyarınca sarılma bölgesinde etriye aralığı $\min (d/4;8d_b;150\text{ mm})$'yi geçmemelidir.

5. Çift donatılı kesimlerde basınç donatısı plastik mafsal davranışını iyileştirir. Basınç donatısı tarafsız eksen derinliğini azaltarak ${\phi }_u$'yu artırır.

6. Doğrusal olmayan analiz için güvenilir M-φ modeli gereklidir. İdealleştirilmiş bilineer veya üçlü model kullanılmalıdır.

7. Plastik mafsal bölgesinde bindirmeli ek yapılmamalıdır. TBDY 2018 Madde 7.4.3.2, kiriş sarılma bölgeleri, kolon-kiriş birleşim bölgeleri ve açıklık ortasındaki alt donatı bölgesi gibi kritik bölgelerde bindirmeli eki yasaklar; manşonlu ya da kaynaklı ekler ancak bir kesitte birer donatı atlanarak ve ek merkezleri arasında en az 600 mm bırakılarak yapılabilir.

8. Etriye kolu aralığı: TBDY 2018 Madde 7.4.4'e göre kiriş eksenine dik doğrultuda etriye kolları arasındaki uzaklık 350 mm'yi aşamaz; geniş kirişlerde bu koşul iç etriye ya da çiroz gerektirebilir.

9. Zemin koşulları: Yumuşak zeminlerde zemin-yapı etkileşimi yerdeğiştirme taleplerini ve dolayısıyla plastik dönme taleplerini artırabilir. TBDY 2018 Bölüm 16, yapı-zemin etkileşimi analizlerini de kapsayan zemin araştırması ve temel tasarımı kurallarını verir (Madde 16.1.1).

10. Birim fiyat: Etriye donatısının maliyeti için Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı'nın yürürlükteki inşaat birim fiyatlarında ilgili donatı pozu kontrol edilmelidir.

11. Standartlar Karşılaştırması

İlgili Standartlar ve Kaynaklar

1. TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği, Bölüm 5 (Madde 5.3 Doğrusal Olmayan Davranış Modelleri, Madde 5.8 Şekil Değiştirme Sınırları), Bölüm 7.4 (Kirişler), Ek 5A (Malzeme Modelleri).
2. TS 500:2000 — Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları, Madde 6.3.8 (Uyum / Yeniden Dağılım), Madde 7.3 (Donatı Oranı Sınırları).
3. TS EN 1992-1-1:2004 (EC2) — Design of Concrete Structures, Madde 5.5 (Linear Analysis with Limited Redistribution), Madde 5.7 (Non-linear Analysis), Madde 3.1.7 (Beton Birim Şekil Değiştirmesi).
4. Paulay, T. & Priestley, M.J.N. — Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings, Wiley, 1992. ISBN: 0-471-54915-0.
5. Ersoy, U., Özcebe, G., Tankut, T. — Betonarme, ODTÜ Yayıncılık, 2016, 7. Baskı.
6. Ersoy, U. & Özcebe, G. — "Sarılmış Betonarme Kesitlerde Moment-Eğrilik İlişkisi: Analitik Bir İrdeleme", İMO Teknik Dergi, Cilt 9, Sayı 44, s. 1799–1827, 1998.
7. Mander, J.B., Priestley, M.J.N. & Park, R. — "Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete", ASCE Journal of Structural Engineering, Vol. 114, No. 8, 1988.
8. Sümer, Y. — "Yüksek Dayanımlı Betonla Üretilmiş Kirişlerde Plastik Mafsal Boyunun Belirlenmesi", Sakarya Üniversitesi, 2017.

Kaynaklar

1. TBDY 2018 — AFAD / T.C. Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı. Resmî Gazete — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği (18.03.2018)
2. TS 500:2000 — TSE — Türk Standardları Enstitüsü. Türk Standardları Enstitüsü (tse.org.tr)
3. TS EN 1992-1-1:2004 (EC2) — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). Avrupa Komisyonu JRC — Eurocodes (eurocodes.jrc.ec.europa.eu)

İlgili Makaleler

• Bkz. BA-001 — Betonarme Kiriş Eğilme Hesabı (Temel eğilme teorisi)
• Bkz. BA-015 — Süneklik Kavramı ve Süneklik Oranı Hesabı
• Bkz. BA-003 — Betonarme Kiriş Kesme Hesabı
• Bkz. BA-043 — Düşey Yük Analizi: Kiriş Süreklilik Etkisi

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

• Kiriş Boyutlandırma Hesaplama
• Kiriş Donatısı Hesaplama
• Etriye Donatısı Hesaplama

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.

yapidan (2026). Kiriş Plastik Mafsal Analizi: Doğrusal Olmayan Davranış. Yapıdan — İnşaat Mühendisliği Bilgi Portalı. https://yapidan.com/kategoriler/ba/kiris-plastik-mafsal-analizi-dogrusal-olmayan-davranis