Mod Birleştirme Yöntemi nedir?

Mod Birleştirme Yöntemi (Response Spectrum Method), yapının birden fazla titreşim modunun maksimum tepkilerini istatistiksel olarak birleştirerek toplam deprem etkisini elde eden doğrusal dinamik yöntemdir. Her mod için spektral ivme ve modal katılım faktörlerine dayalı zorlanmalar hesaplanır (TBDY 2018 Bölüm 4.8).

CQC ile SRSS arasındaki fark nedir?

SRSS (Karelerin Karekökü Toplamı) modlar arası korelasyonu ihmal eder ve iyi ayrılmış periyotlarda yeterince doğrudur. CQC (Tam Karesel Birleşim) ise modlar arası korelasyonu hesaba katar ve yakın periyotlu modlarda (βij > 0,7) daha doğru sonuç verir; TBDY 2018 üç boyutlu analizlerde genel kullanım için CQC'yi tercih eder.

Modal analizde özdeğer problemi nasıl kurulur?

Çok serbestlik dereceli sistem için ([K] - ωn²[M]){φ}n = {0} özdeğer problemi çözülür; burada [K] rijitlik, [M] kütle matrisi, ωn n. mod açısal frekansı ve {φ}n mod şekli vektörüdür. Doğal periyot Tn = 2π/ωn ile bulunur.

Mod birleştirme yönteminde minimum taban kesme kuvveti koşulu nedir?

TBDY 2018 Bölüm 4.8.3 uyarınca mod birleştirme ile bulunan taban kesme kuvveti Vt ≥ 0,90·VtEŞD olmalıdır. Koşul sağlanmazsa modal kuvvetler 0,90·VtEŞD/Vt oranıyla büyütülür.

Modal sönüm oranı tipik olarak ne alınır?

Betonarme yapılarda modal sönüm oranı tipik olarak %5 alınır; bu değer CQC çapraz korelasyon katsayısı ρij hesabında ve elastik tasarım spektrumunun türetilmesinde kullanılır.

Mod Birleştirme Yöntemi (CQC ve SRSS)

DP-009 Modal analiz ve mod şekilleri görsel — 3 mod φ1/φ2/φ3 yan yana (8 katlı bina), spektrumda mod konumları, CQC vs SRSS korelasyon eğrisi, modal katkı histogram, formüller ve tipik değerler — **Şekil 1.2 — Mod Şekilleri + CQC/SRSS Görseli**
İlk 3 mod şekli (φ1 tek lobe T1≈0.8s, φ2 S-eğri, φ3 üç lobe); spektrumda T1/T2/T3 konumları; CQC korelasyon ρij vs β=ωj/ωi grafiği (β<1.5 yakın mod CQC zorunlu, β>1.5 SRSS yeterli); modal katkı histogramı (toplam %90+ kapsama).

Sol panel: SDOF sistem diyagramı — m kütle, k yay katsayısı, z ve x koordinat okları; sağ panel: 6-DOF düğüm noktası koordinat sistemi — UX, UY, UZ öteleme ve RX, RY, RZ dönme serbestlikleri ok etiketleriyle gösterilmiş — **Şekil 1 — SDOF Sistemi ve 6-DOF Düğüm Noktası**
Solda tek serbestlik dereceli yay-kütle sistemi; sağda her düğüm noktasına ait 6 serbestlik derecesi (3 öteleme + 3 dönme); çok katlı binaların modal analizi bu serbestliklerin tümünü kapsar.

Çok serbestlik dereceli sistem için özdeğer problemi:

$\left([K] - \omega_n^2 [M]\right) \{\phi\}_n = \{0\}$

Tablo 1: Serbestlik Dereceleri ve Özdeğer Problemi

Sembol	Tanım
$[K]$	Yapı rijitlik matrisi
$[M]$	Yapı kütle matrisi
$\omega_n$	n. mod açısal frekansı (rad/s)
$\{\phi\}_n$	n. mod şekli vektörü

Doğal periyot: $T_n = 2\pi / \omega_n$

1.2 Çok Katlı Sistem — Serbestlik Dereceleri

2 katlı çerçeve yapısı modal analiz modeli: 6 düğüm noktası 1–6 numaralı; kirişler EI ve 2EI rijitlikte; üst katta m, alt katta 2m kütle; u1–u6 serbestlik derecesi okları; açıklık 240 inç — **Şekil 2 — İki Katlı Çerçeve: Modal Analiz Modeli**
Göreli rijitlikleri EI ve 2EI olan iki katlı çerçevede 6 düğüm noktası ve u1–u6 serbestlik dereceleri; üst katta m, alt katta 2m kütle; bu modelde iki titreşim modu bulunur.

2. Spektral Analiz Yöntemi

2.1 Tasarım Spektrumu ve Analiz Yöntemleri

Tasarım Response Spectrum diyagramı ve dört analiz yöntemi: mavi spektrum eğrisi üstte; ELF (Equivalent Lateral Force), Response Spectrum Analysis, Pushover Analysis, Time History Analysis simgeleriyle listeleniyor — **Şekil 3 — Tasarım Spektrumu ve Deprem Analiz Yöntemleri**
TBDY 2018 tasarım spektrumu ve dört temel analiz yöntemi; mod birleştirme yöntemi spektrum eğrisinin doğrudan kullanıldığı doğrusal dinamik yöntemdir.

$\Gamma_n = \frac{\{\phi\}_n^T [M] \{1\}}{\{\phi\}_n^T [M] \{\phi\}_n}$

n. mod için modal yer değiştirme amplitüdü:

$D_n = \frac{S_a(T_n)}{\omega_n^2}$

3. CQC — Tam Karesel Birleşim

CQC modlar arası korelasyonu hesaba katan genel yöntemdir; yakın periyotlu modlarda SRSS'ye göre daha doğru sonuç verir.

$r = \sqrt{\sum_i \sum_j \rho_{ij} \cdot r_i \cdot r_j}$

Çapraz korelasyon katsayısı:

$\rho_{ij} = \frac{8 \xi^2 (1 + \beta_{ij}) \beta_{ij}^{3/2}}{(1 - \beta_{ij}^2)^2 + 4\xi^2 \beta_{ij}(1 + \beta_{ij})^2}$

Tablo 2: CQC — Tam Karesel Birleşim

Sembol / Tanım

Sembol	Tanım
$\beta_{ij}$	$\omega_i / \omega_j$ frekans oranı
$\xi$	Modal sönüm oranı (tipik %5)
$r_i$ , $r_j$	i ve j. moda ait modal büyüklük

CQC Kullanım Koşulları:

Yakın periyotlu modlar söz konusu olduğunda ( $\beta_{ij}$ > 0,7)
TBDY 2018 Bölüm 4.8.2 uyarınca üç boyutlu analizlerde

SRSS modlar arası korelasyonu ihmal eder; iyi ayrılmış periyotlarda yeterince doğrudur.

$r = \sqrt{\sum_i r_i^2}$

Tablo 3: SRSS — Karelerin Karekökü Toplamı

Özellik	SRSS	CQC
Mod korelasyonu	İhmal edilir	Hesaba katılır
Yakın periyotlar	Hatalı (düşük tahmin)	Doğru
Hesap karmaşıklığı	Basit	Orta
TBDY 2018 tercihi	Özel durum	Genel kullanım

TBDY 2018 Bölüm 4.8.3 gereği:

$V_t \geq 0{,}90 \cdot V_{tEŞD}$

Tablo 4: Minimum Taban Kesme Kuvveti Kontrolü

Sembol	Tanım
$V_t$	Mod birleştirme yöntemiyle elde edilen taban kesme kuvveti
$V_{tEŞD}$	Eşdeğer deprem yükü yöntemiyle hesaplanan taban kesme kuvveti

Koşul sağlanmıyorsa modal kuvvetler $0{,}90 \cdot V_{tEŞD} / V_t$ oranıyla büyütülür.

Eşdeğer Deprem Yükü Yöntemi şeması: 10 katlı çerçevede F1-F10 yatay kuvvetler, Tp periyot formülü, mod şekli; Vt taban kesme formülü; SaE(T)/g ivme spektrumu; TA=0.056s, TB=0.279s, TL=6.000s — **Şekil 4 — EŞD Yöntemi: Vt Taban Kesme Kuvveti Referansı**
Mod birleştirme yöntemiyle elde edilen Vt'nin minimum koşulunu sağlamak için karşılaştırma kriteri olan V_tEŞD hesabı; TBDY 2018 Bölüm 4.3 eşdeğer deprem yükü yöntemi esas alınır.

5.1 Rezonans ve Sönümün Etkisi

Rezonans Transmissibility grafiği: dikey |G(ωA)| kazanç, yatay ωA/ω0 frekans oranı; δ=0.1ω0'dan δ=10ω0'a farklı sönüm eğrileri; kırmızı envelope, mavi minimum sönüm maksimum tepe — **Şekil 5 — Rezonans ve Sönümün Transmissibility Üzerindeki Etkisi**
Frekans oranı ω/ω₀ = 1'de rezonans koşulunda kazanç maksimuma ulaşır; sönüm oranı arttıkça rezonans tepkisi azalır; modal birleştirmede %5 sönüm kabulü bu davranışı yansıtır.

6. Hesap Prosedürü Akışı

Ekler: 1999 Kocaeli Depremi Spektrumu

1999 Kocaeli depremi ivme spektrumu: başlık 'Deprem Yer Hareketi İvme Spektrumu'; dikey ivme cm/sn², yatay periyot sn; %2, %5, %10, %20 sönüm eğrileri; %67g, %64g, %47g tepe değerleri; 0.32 sn ve 0.44 sn işaretli — **Şekil 6 — 1999 Kocaeli Depremi İvme Tepki Spektrumu**
1999 Mw 7,6 Kocaeli depremine ait ivme tepki spektrumu; %5 sönüm için tepe ivme %67g, dominant periyot 0,32–0,44 sn; gerçek deprem kayıtlarının tasarım spektrumuyla kalibrasyonunu göstermektedir.

Saha Notu: TBDY 2018 uyarınca hesaba katılan modların toplam etkin kütlesinin her yatay doğrultuda yapı toplam kütlesinin %90'ına ulaşması zorunludur. 20+ katlı binalarda bu koşul için çoğunlukla 15–25 mod hesaba katılması gerekmektedir.

Dikkat: TBDY 2018 Bölüm 4.8.2 uyarınca üç boyutlu hesaplarda X, Y ve Z bileşenlerinin eş zamanlı etkisi için %100 + %30 + %30 kuralı uygulanır; bileşenlerin sıralaması değiştirilmeli ve en büyük sonuç alınmalıdır.

Kaynakça

İlgili Türk Standartları (TS) ve Avrupa Normları (EN)
TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği
İlgili ders kitapları ve teknik kaynaklar

Not: Bu makale eğitim amaçlıdır. Projelerde güncel yönetmelik ve standartlara başvurunuz.

Kaynaklar

TBDY 2018 — AFAD / T.C. Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı. https://www.resmigazete.gov.tr/eskiler/2018/03/20180318M1-2.htm
TBDY 2018 Bölüm 4.8 — AFAD / T.C. Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı. https://www.resmigazete.gov.tr/eskiler/2018/03/20180318M1-2.htm
ASCE 7-22 Bölüm 12.9.
TS EN 1998-1 (Eurocode 8) Bölüm 4.3.3.3 — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.

Çok serbestlik dereceli sistem için özdeğer problemi:

$\left([K] - \omega_n^2 [M]\right) \{\phi\}_n = \{0\}$

Tablo 1: Serbestlik Dereceleri ve Özdeğer Problemi

Sembol	Tanım
$[K]$	Yapı rijitlik matrisi
$[M]$	Yapı kütle matrisi
$\omega_n$	n. mod açısal frekansı (rad/s)
$\{\phi\}_n$	n. mod şekli vektörü

Doğal periyot: $T_n = 2\pi / \omega_n$

1.2 Çok Katlı Sistem — Serbestlik Dereceleri

2. Spektral Analiz Yöntemi

2.1 Tasarım Spektrumu ve Analiz Yöntemleri

$\Gamma_n = \frac{\{\phi\}_n^T [M] \{1\}}{\{\phi\}_n^T [M] \{\phi\}_n}$

n. mod için modal yer değiştirme amplitüdü:

$D_n = \frac{S_a(T_n)}{\omega_n^2}$

3. CQC — Tam Karesel Birleşim

CQC modlar arası korelasyonu hesaba katan genel yöntemdir; yakın periyotlu modlarda SRSS'ye göre daha doğru sonuç verir.

$r = \sqrt{\sum_i \sum_j \rho_{ij} \cdot r_i \cdot r_j}$

Çapraz korelasyon katsayısı:

$\rho_{ij} = \frac{8 \xi^2 (1 + \beta_{ij}) \beta_{ij}^{3/2}}{(1 - \beta_{ij}^2)^2 + 4\xi^2 \beta_{ij}(1 + \beta_{ij})^2}$

Tablo 2: CQC — Tam Karesel Birleşim

Sembol / Tanım

Sembol	Tanım
$\beta_{ij}$	$\omega_i / \omega_j$ frekans oranı
$\xi$	Modal sönüm oranı (tipik %5)
$r_i$ , $r_j$	i ve j. moda ait modal büyüklük

CQC Kullanım Koşulları:

Yakın periyotlu modlar söz konusu olduğunda ( $\beta_{ij}$ > 0,7)
TBDY 2018 Bölüm 4.8.2 uyarınca üç boyutlu analizlerde

SRSS modlar arası korelasyonu ihmal eder; iyi ayrılmış periyotlarda yeterince doğrudur.

$r = \sqrt{\sum_i r_i^2}$

Tablo 3: SRSS — Karelerin Karekökü Toplamı

Özellik	SRSS	CQC
Mod korelasyonu	İhmal edilir	Hesaba katılır
Yakın periyotlar	Hatalı (düşük tahmin)	Doğru
Hesap karmaşıklığı	Basit	Orta
TBDY 2018 tercihi	Özel durum	Genel kullanım

TBDY 2018 Bölüm 4.8.3 gereği:

$V_t \geq 0{,}90 \cdot V_{tEŞD}$

Tablo 4: Minimum Taban Kesme Kuvveti Kontrolü

Sembol	Tanım
$V_t$	Mod birleştirme yöntemiyle elde edilen taban kesme kuvveti
$V_{tEŞD}$	Eşdeğer deprem yükü yöntemiyle hesaplanan taban kesme kuvveti

Koşul sağlanmıyorsa modal kuvvetler $0{,}90 \cdot V_{tEŞD} / V_t$ oranıyla büyütülür.

5.1 Rezonans ve Sönümün Etkisi

6. Hesap Prosedürü Akışı

Ekler: 1999 Kocaeli Depremi Spektrumu

Saha Notu: TBDY 2018 uyarınca hesaba katılan modların toplam etkin kütlesinin her yatay doğrultuda yapı toplam kütlesinin %90'ına ulaşması zorunludur. 20+ katlı binalarda bu koşul için çoğunlukla 15–25 mod hesaba katılması gerekmektedir.

Dikkat: TBDY 2018 Bölüm 4.8.2 uyarınca üç boyutlu hesaplarda X, Y ve Z bileşenlerinin eş zamanlı etkisi için %100 + %30 + %30 kuralı uygulanır; bileşenlerin sıralaması değiştirilmeli ve en büyük sonuç alınmalıdır.

Kaynakça

İlgili Türk Standartları (TS) ve Avrupa Normları (EN)
TBDY 2018 — Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği
İlgili ders kitapları ve teknik kaynaklar

Not: Bu makale eğitim amaçlıdır. Projelerde güncel yönetmelik ve standartlara başvurunuz.

Kaynaklar

TBDY 2018 — AFAD / T.C. Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı. https://www.resmigazete.gov.tr/eskiler/2018/03/20180318M1-2.htm
TBDY 2018 Bölüm 4.8 — AFAD / T.C. Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı. https://www.resmigazete.gov.tr/eskiler/2018/03/20180318M1-2.htm
ASCE 7-22 Bölüm 12.9.
TS EN 1998-1 (Eurocode 8) Bölüm 4.3.3.3 — CEN — Avrupa Standardizasyon Komitesi (Eurocode). https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu

İlgili Hesaplama Araçları

Bu konuyla ilgili ücretsiz mühendislik hesaplama araçlarımızla ön tasarım ve kontrol yapabilirsiniz:

Önemli Mühendislik Uyarısı: Bu içerik yalnızca bilgilendirme amaçlıdır; nihai tasarım, hesap ve uygulama kararları, güncel yönetmelikler ile proje koşulları çerçevesinde yetkili bir inşaat mühendisinin denetiminde alınmalıdır. Sayısal örnekler ve formüller genel mühendislik pratiğini yansıtır; her projenin kendine özgü zemin, yük ve çevre koşulları proje müellifince ayrıca değerlendirilmelidir.

Mod Birleştirme Yöntemi (CQC ve SRSS)

1.2 Çok Katlı Sistem — Serbestlik Dereceleri

2. Spektral Analiz Yöntemi

2.1 Tasarım Spektrumu ve Analiz Yöntemleri

3. CQC — Tam Karesel Birleşim

5.1 Rezonans ve Sönümün Etkisi

6. Hesap Prosedürü Akışı

Ekler: 1999 Kocaeli Depremi Spektrumu

Kaynakça

Kaynaklar

İlgili Hesaplama Araçları